Quelques rappels de première

Suites arithmétiques

Déf. Soit $r\in\mathbb R$. Une suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb N$ est arithmétique de raison $r$ si et seulement si: \[\forall n\in\mathbb N,\quad u_{n+1} = u_n + r.\]

Prop. Si $(u_n)$ est arithmétique, alors : \[\forall n\in\mathbb N,\quad u_n = u_0 + nr.\] ou encore \[\forall n\in\mathbb N^*,\quad u_n = u_1 + (n-1)r.\]

Prop. \[\forall n\in\mathbb N,\quad \sum_{i=0}^n i = 0 + 1 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}2.\]

Preuve

Démontrons ce résultat par récurrence.
Notons $\mathscr A(n)$ l'assertion «$\displaystyle\sum_{i=0}^n i = 0 + 1 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}2$».

Si $n = 0$ , alors $\displaystyle\sum_{i=0}^0 i = 0$ et $\dfrac{0(0+1)}2 = 0$.
Donc $\mathscr A(0)$ est vraie.
Pour un entier naturel $n$ donné, supposons $\mathscr A(n)$ vraie.
Alors : \[0+1+\cdots + n = \frac{n(n+1)}2.\] Donc : \[\begin{aligned} 0+1+\cdots + n + {\color{Red}(n+1)} &= \frac{n(n+1)}2 + {\color{Red}(n+1)}& \\ \implies 0+1+\cdots + (n+1) &=\frac{n(n+1)}2 + \frac{2(n+1)}2& \\ \implies \sum_{i=0}^{n+1} i &=\frac{{\color{Green}n}{\color{Red}(n+1)} + {\color{Green}2}{\color{Red}(n+1)}}{2}& \\ \implies \sum_{i=0}^{n+1} i &=\frac{{\color{Red}(n+1)}({\color{Green}n+2})}2&. \end{aligned}\] Donc $\mathcal A(n+1)$ est aussi vraie.
Par récurrence, l'assertion $\mathscr A(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

Prop. Si $(u_n)$ est une suite arithmétique, alors : \[\forall n\in\mathbb N,\quad \sum_{i=0}^n u_i = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = (n+1)\frac{u_0 + u_n}2.\]

Preuve

Soit $r$ la raison de la suite $(u_n)$. Alors: \[\begin{aligned} \sum_{i=0}^n u_i &= u_0 + u_1 + u_2 + \cdots + u_n& \\ \implies \sum_{i=0}^n u_i &= u_0 + (u_0 + 1r) + (u_0 + 2r) + \cdots + u_0 + nr& \\ \implies \sum_{i=0}^n u_i &=\underbrace{u_0 + u_0 + \cdots + u_0}_{n\ \text{termes}} + (1 + 2 + \cdots + n)r& \\ \implies \sum_{i=0}^n u_i &=(n+1)u_0 + \frac{n(n+1)}2r& \\ \implies \sum_{i=0}^n u_i &=(n+1)\left(\frac{2u_0}2 + \frac{nr}2\right)& \\ \implies \sum_{i=0}^n u_i &=(n+1)\frac{u_0 + u_0 + nr}2& \\ \implies \sum_{i=0}^n u_i &=(n+1)\frac{u_0 + u_n} 2& \end{aligned}\]

Suites géométriques

Déf. Soit $q\in\mathbb R$. Une suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb N$ est géométrique si \[\forall n\in\mathbb N,\quad u_{n+1} = qu_n.\]

Prop. Si $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q$: \[ \forall n\in\mathbb N,\quad u_n = q^n u_0 = q^{n-1}u_1. \]

Prop. Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q\neq 1$. alors \[\forall n\in\mathbb N,\quad \sum_{i=0}^n u_i = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.\]

Preuve

Procédons par récurrence en nommant $\mathscr A(n)$ l'assertion \[\text{«}\sum_{i=0}^n u_i = u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\text{»}\]

Si $n = 0$, alors $\displaystyle\sum_{i=0}^0 u_i = u_0$ et \[ u_0\dfrac{1-q^{0+1}}{1-q} = u_0 \times \frac{1-q^1}{1-q} = u_0\times 1 = u_0. \] Donc $\mathcal A(0)$ est vraie.
Supposons que pour un entier naturel $n$ donné, $\mathcal A(n)$ soit vraie. On a donc: \[\sum_{i=0}^n u_i = u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.\] Alors : \[\begin{aligned} \sum_{i=0}^{n+1} u_i &= \sum_{i=0}^n u_i + u_{n+1}& \\ \implies \sum_{i=0}^{n+1} u_i &= u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q} + u_0q^{n+1}& \\ \implies \sum_{i=0}^{n+1} u_i &= u_0\left( \frac{1-q^{n+1}}{1-q} + q^{n+1}\right)& \\ \implies \sum_{i=0}^{n+1} u_i &=u_0\left(\frac{1-q^{n+1}}{1-q} + \frac{q^{n+1}(1-q)}{1-q}\right)& \\ \implies \sum_{i=0}^{n+1} u_i &=u_0\frac{1 - q^{n+1} + q^{n+1} - q^{n+2}}{1-q}& \\ \implies \sum_{i=0}^{n+1} u_i &=u_0\frac{1-q^{n+2}}{1-q}.& \end{aligned}\] Donc $\mathcal A(n+1)$ est aussi vraie.
Alors, par récurrence, $\mathcal A(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

Monotonie d'une suite

Déf. Une suite $(u_n)$ est croissante ssi: \[\big(\forall n\in\mathbb N,\quad u_{n+1} \ge u_n\big) \iff \big(\forall n\in\mathbb N,\quad u_{n+1} - u_n \ge 0\big).\] Un suite $(u_n)$ est décroissante ssi: \[\big(\forall n\in\mathbb N,\quad u_{n+1} \le u_n\big) \iff \big(\forall n\in\mathbb N,\quad u_{n+1} - u_n \le 0\big).\] Une suite croissante ou décroissante est dite monotone.