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Pour chacune des suites proposées ci-après, déterminer les 4 premiers termes puis étudier la monotonie

1. $(u_n)$ telle que $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = u_n + n$;
   Corrigé
   \[\begin{aligned} u_0 &= 3& \\ u_1 &= 3+0 = 3& \\ u_2 &= 3+1 = 4& \\ u_3 &= 4+2 = 6.& \end{aligned}\]
   Pour tout $n\in\mathbb N$: \[u_{n+1} - u_n = u_n + n - u_n = n \ge 0.\] La suite $(u_n)$ est donc croissante.
2. $(v_n)$ telle que pour tout $n\in\mathbb N$, $v_n = 0,5^n$;
   Corrigé I Corrigé II
   \[\begin{aligned} v_0 &= 1& \\ v_1 &= 0,5& \\ v_2 &= 0,25& \\ v_3 &= 0,125& \end{aligned}\] Il est clair que pour tout $n\in\mathbb N$, $0,5^n > 0$, donc on peut considérer le rapport de deux termes consécutifs : \[\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{0,5^{n+1}}{0,5^n} = 0, 5 < 1.\] Donc la suite $(v_n)$ est décroissante.
   Pour tout entier naturel $n$ : \[\begin{aligned} v_{n+1} - v_n &= 0,5^{n+1} - 0,5^n& \\ &= (0,5 - 1)\times 0,5^n& \\ &= -0,5\times 0,5^n& \\ &= -0,5^{n+1} < 0.& \end{aligned}\] Puisque, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} - v_n < 0$, on peut affirmer que la suite $(v_n)$ est décroissante.
3. $(w_n)$ telle que pour tout $n\in\mathbb N$, $w_n = \dfrac{3n - 5}{n+6}$;
   Corrigé I Corrigé II
   Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par \[f(x) = \dfrac{3x - 5}{x+6}.\] Son dénominateur s'annule en −6, donc cette fonction est bien dérivable sur $[0;+\infty|$ et : \[\begin{aligned} f'(x) &= \frac{3(x+6) - (3x-5)\times 1}{(x+6)^2}& \\ &= \frac{3x + 18 - 3x + 5}{(x+6)^2}& \\ &=\frac{23}{(x+6)^2}.& \end{aligned}\] Pour tout $x\in\mathbb R_+$, puisque $(x+6)^2 > 0$, $f'(x)>0$, donc la fonction $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.
   Or $w_n = f(n)$, donc la suite $(w_n)$ est aussi strictement croissante.
   \[\begin{aligned} &w_{n+1} - w_n& \\ &=\frac{3(n+1) - 5}{(n+1) + 6}- \frac{3n - 5}{n+6}& \\ &=\frac{3n-2}{n+7} - \frac{3n - 5}{n+6}& \\ &=\frac{(3n-2)(n+6) - (3n-5)(n+7)}{(n+6)(n+7)}& \\ &=\frac{3n^2 + 18n - 2n - 12 - 3n^2 - 21n + 5n + 35}{(n+6)(n+7)}& \\ &=\frac{23}{(n+6)(n+7)}& \end{aligned}\] Puisque $n\ge 0$, $n+6 > 0$ et $n+7 > 0$, $w_{n+1} - w_n > 0$.
   La suite $(w_n)$ est strictement croissante.
4. $(x_n)$ telle que pour tout $n\in\mathbb N$, $x_n = 2n^3 - 2n + 3$.
   Corrigé
   Pour tout entier naturel $n$: \[\begin{aligned} &x_{n+1} - x_n& \\ &= 2(n+1)^3 - 2(n+1) - 2n^3 + 2n& \\ &= 2(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - 2n - 2 -2n^3 + 2n& \\ &= 2n^3 + 6n^2 + 6n + 2 - 2 - 2n^3& \\ &= 6n^2 + 6n& \\ &= 6n(n + 1).& \end{aligned}\] Or $n\ge 0$, $n+1 > 0$ et $6>0$, donc $x_{n+1} - x_n \ge 0$, ce qui indique que la suite $(x_n)$ est croissante.

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