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QCM. Donner la seule réponse exacte pour chaque proposition.
$(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ sont trois suites telles que, pour tout entier naturel $n$:
\[v_n \le u_n \le w_n.\]
-
Si $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} v_n = 0$ et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}w_n = 1$, alors:
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La suite $(u_n)$ converge;
-
La suite $(u_n)$ diverge;
-
On ne peut pas savoir si $(u_n)$ converge ou non.
Corrigé
Réponse c. On ne peut pas savoir si la suite $(u_n)$ converge ou non.
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Si $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} w_n = 0$ et que pour tout entier naturel $n$, $v_n\ge 0$, alors:
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La suite $(u_n)$ converge;
-
La suite $(u_n)$ diverge;
On ne peut pas savoir si $(u_n)$ converge ou pas.
Corrigé
Réponse a. La suite $(u_n)$ converge vers 0.
Si $w_n = -n+100$, alors:
-
La suite $(u_n)$ converge;
-
La suite $(u_n)$ diverge;
-
On ne peut pas savoir si $(u_n)$ converge ou pas.
Corrigé
Réponse b. La suite $(u_n)$ diverge car elle tend vers $-\infty$.
En effet, c'est le cas de la suite $(w_n)$ et la suite $(u_n)$ est majorée par $(w_n)$, donc elle
tend aussi vers $-\infty$.
Si $v_n = \dfrac 1{n+1}\left(n^2-2\right)$ alors:
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La suite $(u_n)$ converge;
-
La suite $(u_n)$ diverge;
-
On ne peut pas savoir si $(u_n)$ converge ou pas.
Corrigé
Réponse b.
Transformons l'écriture de $v_n$:
\[\begin{aligned}
v_n &= \frac 1 {n+1}(n^2 -2) = \frac{n^2 - 2}{n+1}&
\\
&=\frac{n^2\left(1 - \frac 2 {n^2}\right)}{n\left(1 + \frac 1 n\right)}&
\\
&= n \times \frac{1-\frac 2{n^2}}{1+\frac 1 n}.&
\end{aligned}\]
D'une part:
\[\lim_{n\to+\infty} \frac 2 {n^2} \implies \lim_{n\to+\infty} 1 - \frac 2 {n^2} = 1.\]
D'autre part:
\[\lim_{n\to+\infty} \frac 1 n = 0 \implies \lim_{n\to+\infty} 1 + \frac 1 n = 1.\]
Donc:
\[\lim_{n\to+\infty} \frac{1-\frac 1 {n^2}}{1+\frac 1 n} = \frac 1 1 = 1.\]
Finalement
\[\lim_{n\to+\infty} n \times \frac{1-\frac 1 {n^2}}{1+\frac 1 n} = (+\infty)\times 1 = +\infty.\]
La suite $(u_n)$ étant minorée par une suite tendant vers $+\infty$, elle diverge elle-même vers $+\infty$.
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