On considère la suite $(v_n)$ définie sur $\mathbb N$ par : \[v_0 = 0 \quad\text{et}\quad v_{n+1}=v_n + 2n + 1.\]

1. Proposer un programme python permettant de calculer les cinq premiers termes de la suite $(v_n)$.
   Corrigé
   Un programme possible est :

   v = 0 for n in range(5): print("v(",n,")= ",v) v = v + 2*n+1
2. Calculer les cinq premiers termes de la suite.
   Corrigé
   \[\begin{aligned} v_0 &= 0\;;& \\ v_1 &= 0 + 2\times 0 + 1 = 1\;;& \\ v_2 &= 1 + 2\times 1 + 1 = 4\;;& \\ v_3 &= 4 + 2\times 2 + 1 = 9\;;& \\ v_4 &= 9 + 2\times 3 + 1 = 16.& \end{aligned}\]
3. 1. Conjecturer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
      Corrigé
      \[\begin{aligned} v_0 &= 0 = 0^2& \\ v_1 &= 1 = 1^2& \\ v_2 &= 4 = 2^2& \\ v_3 &= 9 = 3^2& \\ v_4 &= 16 = 4^2.& \end{aligned}\]
      Il semble que l'on ait, pour tout $n\in\mathbb N$, \[v_n = n^2.\]
   2. Démontrer cette conjecture par récurrence.
      Corrigé
      Soit $\mathcal P(n)$ la propriété «$v_n = n^2$».

      • $\mathcal P(0)$ est vraie car $v_0 = 0$ et $0^2 = 0$;
      • Si $\mathcal P(n)$ est vraie à un rang $n$ quelconque, alors \[v_{n+1}=v_n + 2n + 1 = n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2\] donc $\mathcal P(n+1)$ est aussi vraie.

      $\mathcal P(n)$ étant initialisée et héréditaire, elle est donc vraie par récurrence pour tout entier naturel.

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