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Déterminer la limite en $+\infty$ des suites proposées ci-dessous.
1.
$(u_n)$, définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $u_n = 5 + \dfrac 1 n$.
Corrigé
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \dfrac 1 n = 0$
donc
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty} 5 + \dfrac 1 n = 5$.
2.
$(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = n^2 - n$.
Corrigé
Pour tout $n\neq 0$: $n^2 - n = n^2\left(1 - \dfrac 1 n\right)$.
Or $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac 1 n = 0$ donc
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty} 1 - \dfrac 1 n = 1$.
D'autre part, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} n^2 = +\infty$, donc finalement
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}n^2\left(1-\dfrac 1 n\right) = (+\infty)\times 1 = +\infty$.
3.
$(w_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_n = \dfrac{1-n}{n^2+1}$.
Corrigé
Pour tout $n\neq 0$:
$\dfrac{1-n}{n^2+1}
=\dfrac{n\left(\frac 1 n - 1\right)}{n^2\left(1 + \frac 1 {n^2}\right)}
=\dfrac 1 n \times \dfrac{\frac 1 n- 1}{1 + \frac 1 {n^2}}$.
Or:
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac 1 n = 0$ donc
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \dfrac 1 n - 1 = -1$;
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac 1 {n^2} = 0$ donc
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}1 + \dfrac 1 {n^2} = 1$.
On en déduit que
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\frac 1 n-1}{1+\frac 1 {n^2}}=\dfrac{-1}{1} = -1$.
Puisque d'autre part, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac 1 n = 0$, on a finalement
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac 1 n \times \dfrac{\frac 1 n - 1}{1+\frac 1 {n^2}}=0\times(-1) = 0$.
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