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1. Soit $(u_n)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0 = -4$ et de raison $r = 3$.
   1. Donner l'expression du terme général de la suite $(u_n)$.
      Corrigé
      Pour tout entier naturel $n$: \[u_n = u_0 + nr = -4 + 3n.\]
   2. En déduire la valeur du 33^e terme de la suite.
      Corrigé
      Puisque le premier terme de cette suite a pour rang 0, le 33^e a pour rang n = 32.
      Donc : \[u_{32} = -4 + 3\times 32 = 92.\]
   3. À partir de quelle valeur de $n$ a-t-on $u_n > 150$?
      Corrigé 1 Corrigé 2
      Si l'on calcule les termes de la suite à partir de $u_{33}$ on obtient : \[u_{33} = 92+3 = 95,\quad u_{34} = 95+3 = 98,\cdots\] jusqu'à obtenir \[u_{51} = 149,\quad u_{52} = 152.\] La réponse est donc $n=52$.
      On cherche à obtenir \[\begin{aligned} u_n &> 150& \\ \iff -4+3n &> 150& \\ \iff 3n &> 150 + 4& \\ \iff n &>\frac{154}3.& \end{aligned}\] Or $\dfrac{154} 3 \approx 51,3$, donc $n = 52$.
2. Soit $(v_n)$ la suite arithmétique de premier terme $v_1 = 47$ et de raison $r=-5$.
   1. Donner l'expression du terme général de la suite $(v_n)$.
      Corrigé
      Pour tout entier naturel $n$ non nul : \[\begin{aligned} v_n &= v_1 + (n-1)r& \\ &= 47 +(n-1)(-5)& \\ &= 47 - 5n + 5& \\ &= 52 - 5n.& \end{aligned}\]
   2. En déduire la valeur de $v_{15}$.
      Corrigé
      \[v_{15} = 52 - 5\times 15 = -23.\]
   3. À partir de quelle valeur de $n$ a-t-on $v_n \le -50$?
      Corrigé 1 Corrigé 2
      Si l'on calcule les termes suivants $v_{15}$ on finit par obtenir que \[v_{20} = -48;\qquad v_{21} = -53.\] Donc la réponse est $n = 21$.
      On veut \[\begin{aligned} v_n &\le -50& \\ \iff 52 - 5n &\le -50& \\ \iff -5n &\le -50 - 52& \\ \iff n &\ge \frac{-102}{-5}.& \end{aligned}\] Or $\dfrac{-102}{-5}=20,4$ donc $n = 21$.

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