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1.
Soit $f$ la fonction définie sur $\left]-\frac 1 2\;;\;+\infty\right[$ par
\[f(x) = \frac{3x}{1+2x}.\]
Montrer que la fonction $f$ est croissante sur $\left]-\frac 1 2\;;\;+\infty\right[$.
Corrigé
La fonction $f$ est dérivable sur $\left]-\frac 1 2;+\infty\right[$ et pour tout
réel $x$ de cet intervalle:
\[f'(x) = \frac{3(1+2x)-3x\cdot 2}{(1+2x)^2} =\frac 3{(1+2x)^2}.\]
Il est clair que $f'(x) > 0$, donc la fonction $f$ est (strictement) croissante
sur $\left]-\frac 1 2;+\infty\right[$.
2.
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=\frac{1}{2}$ et telle que pour tout entier naturel $n$,
\[
u_{n+1} = f(u_n) = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}
\]
2.a.
Calculer $u_1$ et $u_2$.
Corrigé
\[\begin{aligned}
u_1 &= \frac{3\times \frac 1 2}{1+2\times \frac 1 2} = \frac{\frac 3 2}2 = \frac 3 4.&
\\
u_2 &=\frac{3\times \frac 3 4}{1+2\times \frac 3 4} = \frac{\frac 9 4}{\frac 5 2} = \frac 9 4 \times \frac 2 5 = \frac 9 {10}.&
\end{aligned}\]
2.b.
Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$,
\[0 \le u_n \le 1.\]
Corrigé
Soit $\mathcal P(n)$ l'assertion «$0\le u_n \le 1$».
$\mathcal P(0)$ est vraie car $u_0 = \frac 1 2$ donc $0\le u_0 \le 1$.
Supposons $\mathcal P(n)$ vraie. On a donc $0 \le u_n \le 1$.
Puisque l'on a montré que la fonction $f$ est croissante, cela implique que
\[f(0) \le f(u_n) \le f(1) \implies f(0) \le u_{n+1} \le f(1).\]
Or
\[\begin{aligned}
f(0)&=\frac 0 {1+2\times 0} = 0.&
\\
f(1)&= \frac{3\times 1}{1+2\times 1} = \frac 3 3 = 1.&
\end{aligned}\]
On a donc bien
\[0 \le u_{n+1} \le 1.\]
$\mathscr P(n)$ étant initialisée et héréditaire, par récurrence, elle est vraie pour tout entier
naturel $n$.
3.a.
Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
Corrigé
Pour tout entier naturel $n$ :
\[\begin{aligned}
u_{n+1} - u_n &= \frac{3u_n}{1+2u_n} - u_n&
\\
&=\frac{3u_n}{1+2u_n} - \frac{u_n(1+2u_n)}{1+2u_n}&
\\
&=\frac{3u_n - u_n - 2u_n^2}{1+2u_n}&
\\
&=\frac{2u_n - 2u_n^2}{1+2u_n}&
\\
&=\frac{2u_n(1-u_n)}{1+2u_n}.&
\end{aligned}\]
D'une part
\[\begin{aligned}
&u_n \le 1&
\\ \implies
&-u_n \ge -1&
\\ \implies
&1-u_n \ge 1-1&
\\ \implies
&1-u_n \ge 0.&
\end{aligned}\]
D'autre part $u_n \ge 0$, donc $2u_n \ge 0$ et $1+2u_n \ge 0$.
Tous les facteurs sont positifs, donc $u_{n+1}-u_n \ge 0$,
ce qui signifie que la suite $(u_n)$ est croissante.
3.b.
Démontrer que la suite $(u_n)$ converge.
Corrigé
La suite $(u_n)$ est croissante tout en étant majorée par 1. Elle est donc convergente.
4.
Soit $(v_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par
\[v_n = \dfrac{u_n}{1-u_n}.\]
4.a.
Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 3.
Corrigé
Pour tout entier naturel $n$ :
\[\begin{aligned}
v_{n+1}
&=\frac{u_{n+1}}{1-u_{n+1}}&
\\
&=\frac{\frac{3u_n}{1+2u_n}}{1-\frac{3u_n}{1+2u_n}}&
\\
&=\frac{\frac{3u_n}{1+2u_n}}{\frac{1+2u_n - 3u_n}{1+2u_n}}&
\\
&=\frac{\frac{3u_n}{1+2u_n}}{\frac{1-u_n}{1+2u_n}}&
\\
&=\frac{3u_n}{1+2u_n}\times \frac{1+2u_n}{1-u_n}&
\\
&=\frac{3u_n}{1-u_n}&
\\
&=3\times \frac {u_n}{1-u_n}&
\\
&=3v_n.&
\end{aligned}\]
La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $q=3$.
4.b.
Exprimer pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
Corrigé
\[v_0 = \frac{u_0}{1-u_0} = \frac {\frac 1 2}{1-\frac 1 2} = \frac{\frac 1 2}{\frac 1 2} = 1.\]
Donc pour tout entier naturel $n$,
\[v_n = q^n v_0 = 3^n\times 1 = 3^n.\]
4.c.
En déduire que, pour tout entier naturel $n$,
\[u_n = \dfrac{3^n}{3^n+1}.\]
Corrigé
Pour tout entier naturel $n$,
\[\begin{aligned}
&\frac {u_n}{1-u_n} = v_n&
\\ \iff
&u_n = v_n(1-u_n)&
\\ \iff
&u_n = v_n - u_n\cdot v_n&
\\ \iff
&u_n + u_n\cdot v_n = v_n&
\\ \iff
&u_n(1+v_n) = v_n&
\\ \iff
&u_n = \frac{v_n}{1+v_n}&
\\ \iff
&u_n = \frac{3^n}{1+3^n}.&
\end{aligned}\]
4.d.
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
Corrigé
Pour tout entier naturel $n$:
\[u_n = \frac{3^n}{3^n + 1} = \frac{3^n}{3^n\left(1+\frac 1 {3^n}\right)}
=\frac 1 {1+\frac 1 {3^n}}.\]
Puisque $3>1$, on sait que
\[\begin{aligned}
&\lim_{n\to+\infty} 3^n = +\infty&
\\ \implies
&\lim_{n\to+\infty} \frac 1 {3^n} = 0&
\\ \implies
&\lim_{n\to+\infty} 1+ \frac 1 {3^n} = 1&
\\ \implies
&\lim_{n\to+\infty} \frac 1 {1+\frac 1 {3^n}} = 1.&
\end{aligned}\]
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