• Montrer que la suite $(u_n)$, définie pour tout entier naturel $n$ par \[u_n = -n^2 - 2n + 8,\] est majorée par 9.
  Corrigé 1 Corrigé 2a Corrigé 2b
  Puisque l'entier naturel $n$ est positif, $-n^2$ et $-2n$ sont négatifs, donc \[-n^2 - 2n \le 0 \implies -n^2 - 2n + 8 \le 8 \implies u_n \le 8.\] La suite $(u_n)$ est majorée par 8, donc a fortiori par 9.
  Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par \[f(x) = -x^2 -2x + 8.\] Pour tout entier naturel $n$, $u_n = f(n)$.
  Or $f$ est une fonction polynôme de degré 2, de coefficient principal $-1$ négatif, donc elle admet son maximum en \[-\frac b {2a} = -\frac{-2}{2\times (-1)} = -1.\] Ce maximum est donc \[f(-1) = -(-1)^2 -2\times(-1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9.\] Si, pour tout réel $x$, $f(x)$ est inférieur à 9, c'est vrai pour tout entier naturel $n$.
  La suite $(u_n)$ est donc majorée par 9.
  Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par \[f(x) = -x^2 -2x + 8.\] Pour tout entier naturel $n$, $u_n = f(n)$.
  $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ et pour tout réel $x$ de cet intervalle \[f'(x) = -2x -2.\] Puisqu'ici $x$ est positif, \[\begin{aligned} x &\ge 0& \\ \implies -2x &\le 0& \\ \implies -2x - 2 &\le -2& \\ \implies -2x-2 &< 0& \\ \implies f'(x) &< 0.& \end{aligned}\] $f'$ est négative sur $[0;+\infty[$, donc $f$ est décroissante sur cet intervalle. Elle admet donc son maximum en 0. \[f(0) = -0^2 - 2\times 0 + 8 = 8.\] La suite $(u_n)$ est donc majorée par 8, donc a fortiori par 9.
• Montrer que la suite $(v_n)$, définie pour tout entier naturel $n$ non nul par \[v_n = 1 - \frac 1 n,\] est bornée.
  Corrigé
  Pour tout entier naturel $n$ non nul : \[\begin{aligned} n &\ge 1 & \\ \implies \frac 1 n &\le \frac 1 1& \\ \implies \frac 1 n &\le 1& \\ \implies -\frac 1 n &\ge -1& \\ \implies 1-\frac 1 n &\ge 1 - 1& \\ \implies v_n &\ge 0.& \end{aligned}\] La suite $(v_n)$ est donc minorée par 0.
  Pour tout entier naturel $n$ non nul: \[\begin{aligned} n &\ge 0& \\ \implies \frac 1 n &\ge 0& \\ \implies -\frac 1 n &\le 0& \\ \implies 1-\frac 1 n &\le 1 + 0& \\ \implies v_n &\le 1.& \end{aligned}\] La suite $(v_n)$ est donc majorée par 1.
  Minorée par 0 et majorée par 1, la suite $(v_n)$ est donc une suite bornée.
• La suite $(w_n)$ est définie par $w_0 = 2$ et pour tout entier naturel $n$: \[w_{n+1} = 3w_n - 5.\] Montrer que la suite $(w_n)$ est majorée par $\dfrac 5 2$.
  Corrigé
  Démontrons par récurrence l'assertion $\mathcal A(n)$: «$w_n \le \dfrac 5 2$».
  $\mathcal A(0)$ est vraie car $w_0=2$ et $2 < \dfrac 5 2$.
  Supposons, pour un entier $n$ donné, que $\mathcal A(n)$ soit vraie. \[\begin{aligned} w_n &\le \frac 5 2& \\ \implies 3w_n &\le 3\times \frac 5 2& \\ \implies 3w_n - 5 &\le \frac{15}2 - 5& \\ \implies w_{n+1} &\le \frac{15}2 - \frac{10}2& \\ \implies w_{n+1}&\le \frac 5 2.& \end{aligned}\] Donc si $\mathcal A(n)$ est vraie, $\mathcal A(n+1)$ sera aussi vraie.
  Par récurrence, l'assertion est vraie pour tout entier naturel $n$ et donc $(w_n)$ est majorée par $\dfrac 5 2$.

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