Montrer que la suite $(u_n)$, définie pour tout entier naturel $n$ par
\[u_n = -n^2 - 2n + 8,\]
est majorée par 9.
Corrigé 1
Corrigé 2a
Corrigé 2b
Puisque l'entier naturel $n$ est positif, $-n^2$ et $-2n$ sont négatifs, donc
\[-n^2 - 2n \le 0 \implies -n^2 - 2n + 8 \le 8 \implies u_n \le 8.\]
La suite $(u_n)$ est majorée par 8, donc a fortiori par 9.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par
\[f(x) = -x^2 -2x + 8.\]
Pour tout entier naturel $n$, $u_n = f(n)$.
Or $f$ est une fonction polynôme de degré 2, de coefficient principal $-1$ négatif, donc elle admet
son maximum en
\[-\frac b {2a} = -\frac{-2}{2\times (-1)} = -1.\]
Ce maximum est donc
\[f(-1) = -(-1)^2 -2\times(-1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9.\]
Si, pour tout réel $x$, $f(x)$ est inférieur à 9, c'est vrai pour tout entier naturel $n$.
La suite $(u_n)$ est donc majorée par 9.
Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par
\[f(x) = -x^2 -2x + 8.\]
Pour tout entier naturel $n$, $u_n = f(n)$.
$f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ et pour tout réel $x$ de cet intervalle
\[f'(x) = -2x -2.\]
Puisqu'ici $x$ est positif,
\[\begin{aligned}
x &\ge 0&
\\ \implies
-2x &\le 0&
\\ \implies
-2x - 2 &\le -2&
\\ \implies
-2x-2 &< 0&
\\ \implies
f'(x) &< 0.&
\end{aligned}\]
$f'$ est négative sur $[0;+\infty[$, donc $f$ est décroissante sur cet intervalle. Elle admet donc
son maximum en 0.
\[f(0) = -0^2 - 2\times 0 + 8 = 8.\]
La suite $(u_n)$ est donc majorée par 8, donc a fortiori par 9.