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$(u_n)$ telle que pour tout $n\in\mathbb N$: $u_{n} = n + \dfrac 1 {n+1}$.
Corrigé
La suite $(n)$ tend vers $+\infty$. D'autre part, la suite $(n+1)$ tend aussi vers $+\infty$.
donc la suite $\left(\frac 1 {n+1}\right)$ tend vers 0.
La somme des suites $(n)$ et $\left(\frac 1 {n+1}\right)$ tend vers donc vers $+\infty$:
\[\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty.\]
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$(v_n)$ telle que pour tout $n\in\mathbb N$: $v_{n} = n^2-n + 1$.
Corrigé
Pour tout $n\in\mathbb N^*$ on a:
\[v_n = n^2 - n + 1 = n^2\left(1 - \frac 1 n + \frac 1 {n^2}\right).\]
Les suites $\left(\frac 1 n\right)$ et $\left(\frac 1 {n^2}\right)$ tendent vers 0,
donc le deuxième facteur $\left(1-\frac 1 n + \frac 1 {n^2}\right)$ tend vers 1.
Le premier facteur, $(n^2)$ tend vers $+\infty$. Donc, par produit, la suite $(v_n)$ tend vers $+\infty$.
\[\lim_{n\to+\infty} v_n = +\infty.\]
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$(w_n)$ telle que pour tout $n\in\mathbb N$: $w_n = \dfrac{3n+2}{n+4}$.
Corrigé
Pour tout $n\in\mathbb N^*$, on a:
\[w_n = \frac{3n+2}{n+4} = \frac{n\left(3 + \frac 2 n\right)}{n\left(1 + \frac 4 n\right)}
=\frac{3 + \frac 2 n}{1 + \frac 4 n}.\]
Puisque $\left(\frac 2 n\right)$ et $\left(\frac 4 n\right)$ tendent vers 0,
le numérateur et le dénominateur tendent respectivement vers 3 et 1, donc
\[\lim_{n\to+\infty} w_n = 3.\]
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$(z_n)$ telle que pour tout $n\in\mathbb N$, $z_n= \dfrac{n - 6}{n^2+3}$.
Corrigé
Pour tout $n\in\mathbb N^*$ on a:
\[z_n = \frac{n - 6}{n^2 + 3} = \frac{n\left(1 - \frac 6 n\right)}{n\left(n + \frac 3 n\right)}
=\frac{1-\frac 6 n}{n + \frac 3 n}.\]
Puisque $\left(\frac 6 n\right)$ tend vers 0, le numérateur tend vers 1.
Puisque $\left(\frac 3 n\right)$ tend vers 0 et $\left(n\right)$ tend vers $+\infty$,
le dénominateur tend vers $+\infty$.
Donc le quotient tend vers 0.
\[\lim_{n\to+\infty} z_n = 0.\]