Déterminer, si elle existe, la limite de la suite $(u_n)$ si pour tout $n\in\mathbb N^*$:
-
$u_n = -4n + 6$;
Corrigé
\[\displaystyle\lim_{n\to +\infty} -4n = -\infty,\]
donc
\[\displaystyle\lim_{n\to+\infty}-4n+6 = -\infty.\]
-
$u_n = n\sqrt n$;
Corrigé
\[\displaystyle\lim_{n\to+\infty} n = +\infty\]
et
\[\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \sqrt n = +\infty,\]
donc par produit
\[\displaystyle\lim_{n\to+\infty} n\sqrt n = +\infty.\]
-
$u_n = \dfrac 3 {2n+1}$;
Corrigé
\[\displaystyle\lim_{n\to+\infty} 2n + 1 = +\infty,\]
donc
\[\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \dfrac 1 {2n+1} = 0.\]
-
$u_n = \dfrac{3n - 5}{2n+1}$;
Corrigé
Remarque: On a
\[\displaystyle\lim_{n\to+\infty} 3n - 5 = +\infty\]
et
\[\displaystyle\lim_{n\to+\infty} 2n + 1 = +\infty\]
donc on est en présence d'une forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$.
On cherche donc à factoriser:
\[u_n = \frac{n\left(3 - \frac 5 n\right)}{n\left(2 + \frac 1 n\right)}
=\frac{3 - \frac 5 n}{2 + \frac 1 n}.\]
Or
\[\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \dfrac 5 n = 0\]
donc
\[\displaystyle\lim_{n\to+\infty} 3 - \dfrac 5 n = 3\]
et
\[\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \dfrac 1 n = 0.\]
Donc
\[\displaystyle\lim_{n\to+\infty} 2+\dfrac 1 n = 2.\]
On a alors
\[\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = \dfrac 3 2.\]
-
$u_n = (-1)^n$;
Corrigé
Les termes de la suite $(u_n)$ valent alternativement 1 et −1. Elle ne tend pas vers l'infini, et
ne se rapproche d'aucun nombre. Elle est donc sans limite.
-
$u_n = n^2-\dfrac 1 {n+1}$;
Corrigé
\[\displaystyle\lim_{n\to+\infty} n+1 = +\infty\]
donc
\[\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \frac 1 {n+1} = 0$\]
et
\[\displaystyle\lim_{n\to+\infty} n^2 = +\infty.\]
Donc finalement
\[\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty + 0 = +\infty.\]
-
$u_n = 2 + \dfrac 3 n - \dfrac 3 {n^2}$;
Corrigé
\[\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \dfrac 3 n = 0\]
et
\[\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \dfrac 3 {n^2} = 0\]
donc finalement
\[\displaystyle\lim_{n\to+\infty} 2 + \dfrac 3 n - \dfrac 3 {n^2} = 2+0-0 = 2.\]
-
$u_n = \dfrac{3n-1}{n^2}$.
Corrigé
Il y a une forme indéterminée de type $\frac\infty\infty$. On cherche donc à factoriser:
\[u_n = \frac{n\left(3-\frac 1 n\right)}{n\times n} = \frac{3 - \frac 1 n}{n}.\]
Or
\[\displaystyle\lim_{n\to+\infty} 3 - \dfrac 1 n = 3\]
et
\[\displaystyle\lim_{n\to+\infty} n = +\infty\]
donc
\[\displaystyle\lim_{n\to+\infty} = \dfrac{3}{+\infty} = 0.\]