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On considère la suite arithmétique $(u_n)$ de premier terme $u_0 = 7$ et de raison $\frac 1 3$.
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Calculer $u_{10}$.
Corrigé
La suite $(u_n)$ est est arithmétique, donc pour tout entier naturel $n$:
\[u_n = u_0 + nr = 7 + \frac 1 3 n.\]
Donc en particulier
\[u_{10} = 7 + \frac 1 3 \times 10 = \frac{21}3 + \frac{10}3 = \frac{31}3.\]
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Déterminer le plus petit indice $n$ tel que $u_n\ge 2u_0$.
Corrigé
On cherche les entiers naturels $n$ tels que
\[\begin{aligned}
u_n &\ge 2u_0&
\\ \iff
7 + \frac 1 3 n &\ge 2\times 7&
\\ \iff
\frac 1 3 n &\ge 2\times 7 - 7&
\\ \iff
\frac 1 3 n &\ge 7&
\\ \iff
n &\ge 7\times \frac 3 1&
\\ \iff
n &\ge 21.&
\end{aligned}\]
L'indice cherché est donc 21.
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