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Soit $(u_n)$ la suite définie par
$u_0 = \dfrac 1 2$ et pour tout $n\in\mathbb N$,
\[u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1+u_n}.\]
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Conjecture.
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Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
Corrigé
\[\begin{aligned}
u_1 &= \frac{u_0}{1+u_0} = \frac{1/2}{1/2+1} = \frac{1/2}{3/2} = \frac 1 2 \times \frac 2 3
= \frac 1 3\;;&
\\
u_2 &= \frac{u_1}{1+u_1} = \frac{1/3}{1+1/3} = \frac{1/3}{4/3} = \frac 1 3 \times \frac 3 4
= \frac 1 4\;;&
\\
u_3 &= \frac{u_2}{1+u_2} = \frac{1/4}{1+1/4} = \frac{1/4}{5/4} = \frac 1 4 \times \frac 4 5
= \frac 1 5\;;&
\\
u_4 &= \frac{u_3}{1+u_3} = \frac{1/5}{1+1/5} = \frac{1/5}{6/5} = \frac 1 5 \times \frac 5 6
= \frac 1 6.&
\end{aligned}\]
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Conjecturer le terme général de $(u_n)$, autrement dit l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
Corrigé
On peut conjecturer que
\[\forall n\in\mathbb N,\quad u_n = \frac 1 {n+2}.\]
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Démonstration.
On considère la suite $(v_n)$ définie sur $\mathbb N$ par
\[v_n = \dfrac 1 {u_n} + 1.\]
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Prouver que la suite $v$ est arithmétique.
Corrigé
Pour tout entier naturel $n$ :
\begin{align*}
v_{n+1} &= \frac 1 {u_{n+1}}+1&
\\
&= \frac{1}{\dfrac{u_n}{1+u_n}}+1&
\\
&=\frac{1+u_n}{u_n} + 1&
\\
&=\frac 1 {u_n} + \frac{u_n}{u_n} + 1&
\\
&=\frac 1 {u_n} + 1 + 1&
\\
&=v_n + 1.&
\end{align*}
La suite $(v_n)$ est donc arithmétique de raison $r=1$ et de premier terme
\[v_0 = \dfrac 1 {u_0}+1 = \frac 1 {1/2} + 1 = 2 + 1 = 3.\]
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En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
Corrigé
On en déduit que pour tout entier naturel $n$ :
\[v_n = v_0 + nr = 3+n.\]
D'autre part :
\[v_n = \frac 1 {u_n} + 1 \implies \frac 1 {u_n} = v_n - 1 \implies u_n = \frac{1}{v_n - 1}.\]
Donc :
\[u_n = \frac 1 {3+n - 1} = \frac 1 {n+2}.\]
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