Pour chacune des suites $u$ définies ci-dessous, déterminer les variations d'une fonction $f$ telle que $u_n = f(n)$
et en déduire les variations de $u$.
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$u_n = 3n^2 - 4$;
Corrigé
On a $u_n =f(n)$ où $f(x) = 3x^2 - 4$.
$f$ est une fonction polynôme de degré 2, son coefficient de degré 2 est positif,
sa représentation graphique est donc une parabole admettant un minimum en
\[-\frac b{2a} = -\frac 0 {2\times 3} = 0.\]
Elle est donc croissante sur $[0;+\infty[$.
La suite $(u_n)$ est donc elle-même croissante.
☞ On pouvait aussi étudier le signe de $f'(x) = 6x$.
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$u_n = -2n + 1$;
Corrigé
Pour tout $n\in\mathbb N$ on a $u_n = f(n)$ où
\[f(x) = -2x + 1.\]
Il s'agit d'une fonction affine, de coefficient directeur négatif,
donc strictement décroissante sur $\mathbb R$ (et plus particulièrement sur $[0;+\infty[$).
On en déduit que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
☞ On pouvait aussi étudier le signe de $f'(x) = -2$,
mais je trouve que c'est un peu ridicule !
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$u_n = \dfrac 1 {n+1}$;
Corrigé
Pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n = f(n)$ avec
\[f(x) = \dfrac 1 {x + 1}\]
pour $x\in[0;+\infty[$.
La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ et pour tout $x$ de cet intervalle :
\[f'(x) = -\frac{1}{(x+1)^2}.\]
Puisque $(x+1)^2$ est positif, $f'(x)$ est négative pour tout $x$ de $[0;+\infty[$.
La fonction $f$ est donc décroissante sur $[0;+\infty[$, ce qui entraîne que la suite $u$ l'est aussi.
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$u_n = \dfrac{5+n} n$ ($n\in\mathbb N^*$).
Corrigé
Ici, $u_n = f(n)$ avec
\[f(x) = \dfrac{5+x} x.\]
Cette fonction est définie et dérivable sur $[1;+\infty[$ et
\[f'(x) = \frac{1\times x - (5+x)\times 1}{x^2} = -\frac 5 {x^2}.\]
Puisque $x^2>0$, $f'(x) < 0$ pour tout $x\in[1;+\infty[$.
La fonction $f$ est décroissante sur $[1;+\infty[$.
la suite $(u_n)$ est donc elle-même décroissante.