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Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb N$ par \[u_n = 2n^2 - 5n - 3.\]

1. Déterminer le premier nombre entier $n$ tel que:
   1. $u_n > 100$;
      Corrigé (discriminant) Corrigé (sans)
      \[2n^2 - 5n - 3 > 100 \iff 2n^2 - 5n - 103 > 0.\] Le discriminant du polynôme $2x^2 - 5x - 103$ est \[\Delta = 5^2 - 4 \times 2 \times (-103) = 849.\] Il est strictement positif, donc le polynôme admet deux racines \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{5 - \sqrt{849}}{2\times 2} \approx -6,04\;;& \\ x_2 &= \frac{5+\sqrt{849}}{2\times 2} \approx 8,53.& \end{aligned}\] Le coefficient principal, 2, est positif donc ce polynôme est positif à l'extérieur des racines.
      Soit sur $]-\infty;x_1[$, mais ici $x$ est négatif et ne nous intéresse donc pas ; soit sur $]x_2;+\infty[$ et donc $n$ doit être le plus petit entier de cet intervalle.
      Donc $n = 9$.
      On peut successivement des valeurs de $u_n$ jusqu'à découvrir que : \[\begin{cases}u_8 = 85\\u_9 = 114\end{cases} \implies \begin{cases} u_8 <100\\ u_9 > 100\end{cases}.\]
   2. $u_n > 10\:000$.
      Corrigé (discriminant) Corrigé (sans)
      \[2n^2 - 5n - 3 > 10000 \iff 2n^2 - 5n - 10003 > 0.\] On procède comme dans la question précédente.
      Ici \[\Delta = 80049>0.\] Les deux racines sont $x_1\approx -69,48$ et $x_2 \approx 71,92$.
      On en déduit que $n = 72$.
      Par des calculs successifs de termes de $(u_n)$, on trouve que \[\begin{cases}u_{71} = 9724\\u_{72} = 10005\end{cases} \implies \begin{cases} u_{71} < 10000\\u_{72}>10000\end{cases}.\] Donc $n = 72$.
2. Conjecturer la limite de la suite $(u_n)$.
   Corrigé
   On conçoit qu'on va pouvoir trouver un rang $n$ au delà duquel les termes de la suite dépassent n'importe quelle valeur qu'on se sera fixé, aussi grande soit-elle.
   Donc on peut conjecturer que la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$.

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code : 650