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(D'après bac spé maths, Métropole juin 2021.)
Cécile a invité des amis à déjeuner sur sa terrasse. Elle a prévu en dessert
un assortiment de gâteaux individuels qu'elle a achetés surgelés.
Elle sort les gâteaux du congélateur à −19°C et les apporte sur la terrasse où la température est de 25°C.
Au bout de 10 minutes la température des gâteaux est de 1,3°C.
I — Premier modèle
On suppose que la vitesse de décongélation est constante c'est-à-dire que l'augmentation de la température est la même minute après minute.
Selon ce modèle, déterminer quelle serait la température des gâteaux 25 minutes après leur sortie du congélateur.
Ce modèle semble-t-il pertinent ?
Corrigé
Chaque minute, la température des macarons augmente de
\[\frac{1,3-(-19)}{10} = \frac{20,3}{10} = 2,03\:\text{°C}.\]
Donc au bout de 25 minutes, elle sera égale à
\[-19 + 26\times 2,03 = 31,75\:\text{°C}.\]
C'est peu pertinent car la température des macarons ne devrait pas dépasser
la température ambiante qui n'est que de 25°C.
II — Second modèle
On note $T_n$ la température des gâteaux en degré Celsius, au bout de $n$ minutes après leur sortie du congélateur ;
ainsi $T_0 = - 19$.
On admet que pour modéliser l'évolution de la température, on doit avoir la relation suivante
\[\text{Pour tout entier naturel } n,\ T_{n+1}-T_n=-0,06\times \left(T_n - 25\right).\]
1.
Justifier que, pour tout entier $n$, on a $T_{n+1}=0,94T_n + 1,5$
Corrigé
Pour tout entier naturel $n$:
\[\begin{aligned}
T_{n+1} - T_n &= -0,06(T_n - 25)&
\\ \iff
T_{n+1} &= -0,06T_n + 0,06\times 25 + T_n&
\\ \iff
T_{n+1} &= 0,94 T_n + 1,5.&
\end{aligned}\]
2.
Calculer $T_1$ et $T_2$. On donnera des valeurs arrondies au dixième.
Corrigé
Donc :
\[{\small \begin{aligned}
T_1 &= 0,94T_0 + 1,5 = 0,94\times (-19) + 1,5 = -16,36 \approx -16,4\;;&
\\
T_2 &= 0,94 T_1 + 1,5 = 0,94\times (-16,36) + 1,5 \approx 613,9.&
\end{aligned}}\]
3.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $T_n\leqslant 25$.
En revenant à la situation étudiée, ce résultat était-il prévisible ?
Corrigé
Soit $\mathcal A(n)$ l'assertion « $T_n \le 25$ ».
(Initialisation.) $\mathcal A(0)$ est vraie car $T_0 = -19$ donc $T_0 \le 25$.
(Hérédité.) Si l'on suppose $\mathcal A(n)$ vraie, alors
\[\begin{aligned}
T_n &\le 25&
\\ \implies
0,94 T_n &\le 0,94\times 25&
\\ \implies
0,94 T_n + 1,5 &\le 23,5 + 1,5&
\\ \implies
T_{n+1} &\le 25.&
\end{aligned}\]
Donc $\mathcal A(n)\implies \mathcal A(n+1)$.
(Conclusion.) Donc, par récurrence, pour tout entier naturel $n$, $\mathcal A(n)$ est vraie.
Ce résultat était prévisible car, comme annoncé dans la partie I, la température des macarons
ne saurait dépasser la température ambiante qui est justement de 25°C.
4.
Étudier le sens de variation de la suite $\left(T_n\right)$.
Corrigé
On vient de montrer que pour tout entier naturel $n$,
\[\begin{aligned}
T_n &\le 25&
\\ \implies
T_n - 25 &\le 0&
\\ \implies
-0,06(T_n - 25) &\ge 0&
\\ \implies
T_{n+1} - T_n &\ge 0&
\end{aligned}\]
La suite $(T_n)$ est donc croissante.
5.
Démontrer que la suite $\left(T_n\right)$ est convergente.
Corrigé
On a montré dans les épisodes précédents que $(T_n)$ est croissante mais aussi majorée par 25.
C'est donc une suite convergente.
6.
On pose pour tout entier naturel $n$, $U_n = T_n - 25$.
a.
Montrer que la suite $\left(U_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $U_0$.
Corrigé
Pour tout entier naturel $n$:
\[\begin{aligned}
U_{n+1} &= T_{n+1} - 25&
\\
&=0,94 T_n + 1,5 - 25&
\\
&=0,94T_n - 23,5.&
\end{aligned}\]
De plus, $U_n = T_n - 25$ donc $T_n = U_n + 25$. Alors :
\[\begin{aligned}
U_{n+1}&=0,94T_n - 23,5&
\\
&=0,94(U_n + 25) - 23,5&
\\
&=0,94U_n + 23,5 - 23,5&
\\
&=0,94U_n.&
\end{aligned}\]
La suite $(U_n)$ est donc géométrique de raison $q=0,94$. Son premier terme est
\[U_0 = T_0 - 25 = -19 -25 = -44.\]
b.
En déduire que pour tout entier naturel $n$, $T_n=-44\times 0,94^n+25$.
Corrigé
$(U_n)$ étant géométrique, pour tout entier naturel $n$:
\[U_n = U_0q^n = -44\times 0,94^n.\]
Donc :
\[T_n = U_n + 25 = -44\times 0,94^n + 25.\]
c.
En déduire la limite de la suite $\left(T_n\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de la situation étudiée.
Corrigé
Puisque $0,94\in]-1\;;\;1[$:
\[\lim_{n\to+\infty} 0,94^n = 0
\implies
\lim_{n\to+\infty} -44\times 0,94^n + 25 = 25.\]
Sans surprise, la température des macarons tend à se rapprocher de 25°C.
7.a.
Le fabricant conseille de consommer les gâteaux au bout d'une demi-heure à température ambiante après leur sortie du congélateur.
Quelle est alors la température atteinte par les gâteaux ? On donnera une valeur arrondie à l'entier le plus proche.
Corrigé
Une demie heure correspond à 30 minutes :
\[T_{30} = -44\times 0,94^{30} + 25 \approx 18.\]
Donc à ce moment là, les macarons sont à 18°C.
b.
Cécile est une habituée de ces gâteaux, qu'elle aime déguster lorsqu'ils sont encore frais, à la température de 10°C.
Donner un encadrement entre deux entiers consécutifs du temps en minutes après lequel Cécile doit déguster son gâteau.
Corrigé
Méthode 1. En programmant le calcul des termes de cette suite à l'aide de la
calculatrice, il vient que
\[T_{17}\approx 9,63\quad\text{et}\quad T_{18}\approx 10,55.\]
Donc il faut attendre entre 17 et 18 minutes.
Méthode 2. On souhaite avoir
\[\begin{aligned}
T_n &\ge 10&
\\ \iff
-44\times 0,94^n + 25 &\ge 10&
\\ \iff
0,94 &\le \frac{10 - 25}{-44}&
\\ \iff
\ln\left(0,94^n\right) &\le \ln\left(\frac{15}{44}\right)&
\\ \iff
n \ln(0,94) &\le \ln\left(\frac{15}{44}\right)&
\\ \iff
n &\ge \frac{\ln\left(\frac{15}{44}\right)}{\ln(0,94)}.&
\end{aligned}\]
Or
\[\frac{\ln\left(\frac{15}{44}\right)}{\ln(0,94)} \approx 17,39\]
Donc il faut bien attendre entre 17 et 18 minutes.
c.
Le programme suivant, écrit en langage Python, doit renvoyer après son exécution
la plus petite valeur de l'entier $n$ pour laquelle $T_n \geqslant 10$.
def seuil() :
n=0
T= ......
while T......
T= ......
n=n+1
return n
Recopier ce programme sur la copie et compléter les lignes incomplètes
afin que le programme renvoie la valeur attendue.
Corrigé
Programme Python :
def seuil() :
n=0
T= -19
while T < 10 :
T= 0.94*T+1.5
n=n+1
return n
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