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Montrer que la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par
\[u_n = n^2 - 4n + 7\]
est minorée par 3.
Corrigé
Pour tout entier naturel $n$ :
\[\begin{aligned}
u_n - 3 &= n^2 - 4n + 7&
\\
&= n^2 - 4n + 7 - 3&
\\
&= n^2 - 4n + 4&
\\
&= (n-2)^2.&
\end{aligned}\]
Donc :
\[u_n - 3 \geqslant 0 \implies u_n \geqslant 3.\]
Ceci montre que la suite $(u_n)$ est bien majorée par 3.
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