Initialisation. Si $n = 0$: \[ 3 \times \left(\dfrac 2 5\right)^0 + 5 = 3 \times 1 + 5 = 8 = u_0.\] Hérédité. Supposons que, pour un rang $n$ donné, on ait bien \[u_n = 3\times \left(\dfrac 2 5\right)^{n} + 5.\] Alors : \[\begin{aligned} u_{n+1} &= \frac 2 5 u_n + 3& \\ &=\frac 2 5 \times \left(3\times \left(\frac 2 5\right)^n + 5\right) + 3& \\ &=3 \times \left(\dfrac 2 5 \right)\times \left(\dfrac 2 5\right)^n + \frac 2 5 \times 5 + 3& \\ &=3 \times \left(\frac 2 5\right)^{n+1} + 2 + 3& \\ &=3 \times \left(\frac 2 5\right)^{n+1} + 5.& \end{aligned}\] Conclusion. Par récurrence, pour tout $n\in\mathbb N$, on a bien \[u_n = 3 \times \left(\frac 2 5\right)^n + 5.\]