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Déterminer, en justifiant, la limite de la suite $(u_n)$ si:
1.
$u_n = n - \dfrac{1}{n+1}$;
Corrigé
Sachant que $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} n = +\infty$ et
$\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \dfrac 1 {n+1} = 0$, on a
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty} n + \dfrac 1 {n+1} = +\infty$.
2.
$u_n = \dfrac{2n+3}{3n-1}$;
Corrigé
Pour $n\neq 0$ on a:
\[\dfrac{2n+3}{3n-1} = \frac{n\left(2 + \frac 3 n\right)}{n\left(3 - \frac 1 n\right)}
=\frac{2 + \frac 3 n}{3 - \frac 1 n}.\]
Or $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \dfrac 3 n = 0$ et
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \dfrac 1 n = 0$, d'où:
\[\lim_{n\to+\infty} \frac{2 + \frac 3 n}{3 - \frac 1 n} = \frac{3+0}{2+0} = \frac 3 2.\]
3.
$u_n = \dfrac{5+(-1)^n}{n}$;
Corrigé
Pour tout entier naturel $n$ non nul,
\begin{align*}
&-1 \le (-1)^n \le 1&\\
\implies &4 \le 5+(-1)^n \le 6&\\
\implies &\frac 4 n \le \frac{5+(-1)^n}{n} \le \frac 6 n&\\
\implies &\frac 4 n \le u_n \le \frac 6 n&
\end{align*}
D'autre part,
$\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \dfrac 4 n = \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac 6 n = 0$,
donc selon le théorème des gendarmes:
\[\lim_{n\to +\infty} u_n = 0.\]
4.
$u_n = \dfrac{2n^2 - 1}{3n+7}$.
Corrigé
Pour tout entier naturel $n$ non nul:
\[\frac{2n^2-1}{3n+7} = \frac{n\left(2n-\frac 1 n\right)}{n\left(3 + \frac 7 n\right)}
= \frac{2n - \frac 1 n}{3 + \frac 7 n}.\]
Or on sait que $\frac 1 n$ tend vers 0 en $+\infty$, et par conséquent que $\frac 7 n$
tend aussi vers 0. On en déduit que:
\[\lim_{n\to+\infty} 2n - \frac 1 n = \lim_{n \to+\infty}2n = +\infty\]
et
\[\lim_{n\to+\infty} 3 + \frac 7 n = 3.\]
Alors:
\[\lim_{n\to+\infty} \frac{2n - \frac 1 n}{3+\frac 7 n} = +\infty.\]
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