Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 2$ et :
\[\forall n\in\mathbb N,\quad u_{n+1} = \sqrt{u_n + 1}.\]
-
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ :
\[1 \le u_{n+1} \le u_n.\]
Corrigé
Notons $\mathcal A(n)$ l'assertion «$1\le u_{n+1} \le u_n$».
$u_0 = 2$ et
\[u_1 = \sqrt{u_0+1} = \sqrt{2+1} = \sqrt{3}.\]
Sachant que $\sqrt 3 \approx 1,73$, on a bien
\[1 \le u_1 \le u_0\]
et donc $\mathcal A(0)$ est vraie.
Si l'on suppose que $\mathcal A(n)$ est vraie pour un entier naturel $n$ quelconque.
Alors
\[\begin{aligned}
1 &\le u_{n+1} \le u_n&
\\ \implies
1+1 &\le u_{n+1}+1 \le u_n + 1&
\\ \implies
2 &\le u_{n+1} + 1 \le u_n + 1.&
\end{aligned}\]
Puisque toutes ces quantités sont supérieures ou égales à 2, elles sont positives. La fonction racine
étant croissante sur $[0;+\infty[$, on a donc :
\[\begin{aligned}
2 &\le u_{n+1} + 1 \le u_n + 1&
\\ \implies
\sqrt{2} &\le \sqrt{u_{n+1} + 1} \le \sqrt{u_n + 1}&
\\ \implies
\sqrt{2} &\le u_{n+2} \le u_{n+1}.&
\end{aligned}\]
Puisque $\sqrt 2\approx 1,41$, on a donc a fortiori
\[1 \le u_{n+2} \le u_{n+1}.\]
On vient donc de montrer que pour tout entier naturel $n$,
\[\mathcal A(n)\implies \mathcal A(n+1).\]
Initialisée et héréditaire, l'assertion $\mathcal A(n)$ est donc vraie pour tout entier naturel $n$.
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Justifier que la suite $(u_n)$ est convergente.
Corrigé
On a montré que
\[\forall n\in\mathbb N,\quad u_{n+1} \le u_n.\]
La suite $(u_n)$ est donc décroissante.
On a aussi montré que
\[\forall n\in\mathbb N,\quad u_n \ge 1.\]
La suite $(u_n)$ est donc aussi minorée.
Elle est donc convergente vers un réel supérieur ou égal à 1.
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Soit $\ell$ la limite de cette suite. On admet que $\ell$ est solution de l'équation
\[x = \sqrt{x + 1}.\]
Déterminer $\ell$.
Corrigé
Pour être solution, $x$ doit nécessairement être positif donc
\[\begin{aligned}
x &= \sqrt{x+1}&
\\ \iff
x^2 &=\left(\sqrt{x+1}\right)^2&
\\ \iff
x^2 &= x + 1&
\\ \iff
x^2 -x - 1 &=0.&
\end{aligned}\]
Le discriminant du polynôme $x^2 -x - 1$ est
\[\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-1) = 5.\]
Donc ce polynôme admet deux racines. L'une d'elles est
\[x_1 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2\times 1} =\frac{1-\sqrt 5} 2.\]
Elle est négative, donc ne peut pas être solution de l'équation originale.
L'autre racine est
\[x_2 = \frac{1+\sqrt 5} 2.\]
C'est l'unique solution de l'équation proposée.
La suite $(u_n)$ converge donc vers le réel
\[\frac{1+\sqrt 5} 2,\]
nombre aussi appelé nombre d'or.