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On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb N}$ définie par $u_{0} = 1$ et
pour tout $n \in \mathbb N$,
\[u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_{n} + n - 2.\]
1.
Calculer $u_{1}$, $u_{2}$ et $u_{3}$.
Corrigé
\[\begin{aligned}
u_1 &= \dfrac 1 3 + 0 - 2 = -\dfrac 5 3,&\\
u_2 &= \dfrac 1 3 \times\left(-\dfrac 5 3\right) + 1 - 2 = -\dfrac{14} 9,&\\
u_3 &= \dfrac 1 3 \times \left(-\dfrac{14} 9 \right) + 2 - 2 = -\dfrac{14}{27}.&
\end{aligned}\]
2.a.
Démontrer que pour tout entier naturel $n \geqslant 4$, $u_{n} \geqslant 0$.
Corrigé
Raisonnons par récurrence :
\[u_4 = \frac 1 3\left(-\frac {14}{27}\right) + 1 = -\frac{14}{81}+\frac{81}{81} = \frac{67}{81}.\]
Donc $u_4\ge 0$ et nous avons montré l'initialisation.
Supposons donc dorénavant que pour $n\ge 4$ quelconque, $u_n \ge 0$ :
\[u_n \ge 0 \implies \frac 1 3 u_n \ge 0.\]
On sait aussi que :
\[n \ge 4 \implies n - 2 \ge 2 \implies n - 2\ge 0.\]
Donc, en additionnant ces deux quantités positives :
\[\frac 1 3 u_n + n - 2 \ge 0 \implies u_{n+1} \ge 0.\]
Ce qui prouve l'hérédité de la propriété.
Donc, par récurrence, pour tout entier supérieur ou égal à 4, $u_n \ge 0$.
2.b.
En déduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 5$, $u_{n} \geqslant n - 3$.
Corrigé
Si $n\ge 5$, alors $u_{n-1} \ge 0$ et donc :
\[u_n = \frac 1 3 u_{n-1} + (n-1) - 2 \ge 0 + n - 3.\]
2.c.
En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb N}$.
Corrigé
On sait que la suite de terme général $n-3$ tend vers $+\infty$, et qu'à partir du rang 5 :
\[u_n \ge n - 3.\]
Donc, par comparaison, on a $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty$.
3.
On définit la suite $\left(v_{n}\right)_{n\in \mathbb N}$ par :
\[\text{pour tout }n \in \mathbb N,\quad v_{n} = -2u_{n} + 3n - \dfrac{21}{2}.\]
3.a.
Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)_{n\in \mathbb N}$ est une suite géométrique
dont on donnera la raison et le premier terme.
Corrigé
\[\begin{aligned}
v_{n+1}
&= -2u_{n+1} + 3(n+1) - \frac{21} 2&
\\
&=-2\left(\frac 1 3 u_n + n - 2\right) + 3n +3 - \frac{21} 2&
\\
&= -\frac 2 3 u_n -2n + 4 + 3n + 3 - \frac{21} 2&
\\
&=-\frac 2 3 u_n + n -\frac 7 2&
\\
&=\frac 1 3\left(-2u_n + 3n -\frac{21} 2\right)&
\\
&= \frac 1 3 v_n.&
\end{aligned}\]
La suite $(v_n)$ vérifiant, pour tout $n\in\mathbb N$, la relation
\[v_{n+1}=\frac 1 3 v_n,\]
on en déduit qu'il s'agit d'une suite géométrique de raison $\dfrac 1 3$
et de premier terme
\[v_0 = -2u_0+3\times 0 - \frac{21} 2 = -\frac{25} 2.\]
3.b.
En déduire que pour tout $n \in \mathbb N$,
\[u_{n} = \dfrac{25}{4}\left(\dfrac{1}{3} \right)^n + \dfrac{3}{2}n -\dfrac{21}{4}.\]
Corrigé
Puisque $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\frac 1 3$ et premier terme $v_0 = -\frac{25}2$,
pour tout entier naturel $n$ :
\[v_n = -\frac{25} 2 \left(\frac 1 3\right)^n.\]
D'autre part :
\[v_n = -2u_n + 3n - \frac{21} 2
\implies
u_n = -\frac 1 2v_n + \frac 3 2 n - \frac{21}4\]
Alors
\[\begin{aligned}
u_n &= -\frac 1 2v_n + \frac 3 2 n - \frac{21}4&
\\
&=-\frac 1 2\left[-\frac{25} 2\left(\frac 1 3\right)^n\right] + \frac 3 2 n - \frac{21} 4&
\\
&= \frac{25} 4 \left(\frac 1 3\right)^n +\frac 3 2 n - \frac{21} 4.&
\end{aligned}\]
3.c.
Soit la somme $S_{n}$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_{k}=u_0 + u_1 + \cdots + u_n.\]
Déterminer l'expression de $S_{n}$ en fonction de $n$.
Corrigé
\[\begin{aligned}
S_n &= u_0 + u_1 + \cdots + u_n&
\\
&=\left[\frac{25}4\left(\frac 1 3\right)^0 +\frac 3 2\times 0 -\frac{21}4\right]&
\\
&+\left[\frac{25} 4 \left(\frac 1 3\right)^1 + \frac 3 2 \times 1 - \frac{21} 4\right]
+\cdots&
\\
&\cdots + \left[\frac{25} 4\left(\frac 1 3\right)^n + \frac 3 2 n - \frac{21} 4\right]&
\end{aligned}\]
Réorganisons cette somme en mettant en facteur certaines constantes :
\[\begin{aligned}
S_n &=\frac{25} 4 \left[\left(\frac 1 3\right)^0 + \left(\frac 1 3\right)^1 + \cdots
+\left(\frac 1 3 \right)^n \right]&
\\
&\qquad+ \frac 3 2 \left[0 + 1 + \cdots + n\right]
- \underbrace{\left[\frac{21} 2 + \frac{21} 2 + \cdots + \frac{21} 2\right]}_{n+1\ \text{termes}}&
\\
&=\frac{25} 4 \times \frac{1 - \left(\frac 1 3\right)^{n+1}}{1-\frac 1 3}
+ \frac 3 2 \times \frac{n(n+1)} 2 -\frac{21} 2(n+1)&
\\
&=\frac{75} 8 \left[1 -\left( \frac1 3\right)^{n+1}\right] + \frac 3 4(n+1)(n-7).&
\end{aligned}\]
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