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Montrer que la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par:
\[u_n = \frac{\cos(n)}{n}\]
converge vers 0.
Corrigé
Pour tout entier naturel $n$:
\[\begin{aligned}
&-1 \le \cos n \le 1&
\\ \implies
&-\frac 1 n \le \frac{\cos n}n \le \frac 1 n&
\\ \implies
&-\frac 1 n \le u_n \le \frac 1 n.&
\end{aligned}\]
Or
\[\displaystyle\lim_{n\to+\infty} -\frac 1 n = \displaystyle\lim_{n\to+\infty} \frac 1 n = 0,\]
donc par encadrement:
\[\lim_{n\to+\infty} u_n = 0.\]
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