-
$u_n = 3^n$;
Corrigé
Toute puissance de 3 étant strictement positive, considérons le quotient :
\[\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3^{n+1}}{3^n} = \frac{3\times 3^n}{3^n} = 3.\]
Puisque
\[\frac{u_{n+1}}{u_n} > 1,\]
la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
-
$u_n = \dfrac 1 {2^n}$;
Corrigé
Ici aussi, toute puissance de 2 étant strictement positive, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n > 0$.
Considérons donc le quotient :
\[\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\frac 1 {2^{n+1}}}{\frac 1 {2^n}}=\frac 1 {2^{n+1}}\times \frac {2^n} 1 = \frac 1 2.\]
Ici
\[\frac{u_{n+1}}{u_n} < 1\]
donc la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
-
$u_n = n5^n$;
Corrigé
Pour $n>0$, $n5^n > 0$, donc considérons à nouveau le rapport
\[\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)5^{n+1}}{n5^n} = \frac{n+1} n \times 5.\]
Or $n+1 > n > 0$, donc
\[\frac {n+1} n > 1\]
donc
\[5\dfrac{n+1} n > 5 > 1.\]
La suite est donc strictement croissante.
-
$u_n = \dfrac 1 {2^{n+1}}$.
Corrigé
On peut remarquer que cette suite est la suite proposée en 2 privée de son premier terme. Puisque la précédente était strictement décroissante, il en est de même de celle-ci.
De toute manière :
\[\frac{u_{n+1}}{u_n}
= \frac{\frac 1 {2^{n+2}}}{\frac 1 {2^{n+1}}}
= \frac 1 {2^{n+2}}\times \frac {2^{n+1}} 1
= \frac 1 2.\]
Donc
\[\frac{u_{n+1}}{u_n} < 1.\]
Ce qui amène à la même conclusion : la suite est strictement décroissante.