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Calculer la limite des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ données ci-après
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$(u_n)$ définie sur $\mathbb N$ par $u_n = \dfrac 1 {5+3n}$.
Corrigé
On sait que
\[\begin{aligned}
\lim_{n\to+\infty} 3n &= +\infty&
\\
\implies \lim_{n\to+\infty} 5 + 3n &= +\infty&
\\
\implies \lim_{n\to+\infty} \frac 1 {5+3n} &= \frac 1 {(+\infty)} = 0.&
\end{aligned}\]
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$(v_n)$ définie sur $\mathbb N$ par $v_n = n^2 - n$.
Corrigé
Pour tout entier naturel $n$,
\[n^2 - n = n^2\left(1 - \frac 1 n\right).\]
Donc :
\[\begin{aligned}
\lim_{n\to+\infty} \frac 1 n &= 0&
\\ \implies
\lim_{n\to+\infty} 1 - \frac 1 n &= 1&
\\ \implies
\lim_{n\to+\infty} n\left(1-\frac 1 n\right)
&=(+\infty)\times 1 = +\infty.&
\end{aligned}\]
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