EX-81

retour

Dans un souci de préservation de l'environnement, Monsieur Durand décide de se rendre chaque matin au travail en utilisant son vélo ou les transports en commun.

S'il choisit de prendre les transports en commun un matin, il reprend les transports en commun le lendemain avec une probabilité égale à 0,8.

S'il utilise son vélo un matin, il reprend son vélo le lendemain avec une probabilité égale à 0,4.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note :

$T_n$ l'évènement « Monsieur Durand utilise les transports en commun le $n$-ième jour »;
$V_n$ l'évènement « Monsieur Durand utilise son vélo le $n$-ième jour »;
$p_n$ la probabilité de l'évènement $T_n$.

Le premier matin, il décide d'utiliser les transports en commun. Ainsi, la probabilité de l'évènement $T_1$ est $p_1 = 1$.

1. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous représentant la situation pour les 2^e et 3^e jours.

Corrigé

2. Calculer $p_3$.
Corrigé

On sait que $p_3 = P(T_3)$. Or : \begin{align*} p(T_3) &= P(T_2\cap T_3) + P(V_2\cap T_3)& \\ &= p(T_2) \times P_{T_2}(T_3) + P(V_2) \times P_{V_2}(T_3)& \\ &= 0,8 \times 0,8 + 0,2 \times 0,6& \\ &=0,64 + 0,12& \\ &=0,76.& \end{align*}

3. Le 3^e jour, M. Durand utilise son vélo.
Calculer la probabilité qu'il ait pris les transports en commun la veille.
Corrigé

On cherche ici la probabilité d'avoir $T_2$ sachant $V_3$ réalisé.
D'une part \[P(V_3) = P(\overline T_3) = 1 - P(T_3) = 1 - 0,76 = 0,24.\] D'autre part \[P(T_2\cap V_3) P(T_2) \times P_{T_2}(V_3) = 0,8 \times 0,2 = 0,16.\] Donc : \[P_{V_3}(T_2) = \frac{P(T_2\cap V_3)}{P(V_3)} = \frac{0,16}{0,24} = \frac 2 3.\]

4. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous représentant la situation pour les $n$-ième et $(n + 1)$-ième jours.

Corrigé

5. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[p_{n+1} = 0,2p_n + 0,6.\] Corrigé

Pour tout entier naturel $n$ non nul : \[\begin{aligned} p_{n+1} &= P(T_{n+1})& \\ &= P(T_{n+1} \cap T_n) + P(T_{n+1} \cap V_n)& \\ &=P(T_n) \times P_{T_n}(T_{n+1}) + P(V_n) \times P_{V_n}(T_{n+1})& \\ &= 0,8 p_n + 0,6(1-p_n)& \\ &=0,8p_n + 0,6 - 0,6p_n& \\ &=0,2p_n + 0,6.& \end{aligned}\]

6. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a \[p_n = 0,75 + 0,25 \times 0,2^{n-1}.\] Corrigé

Notons $\mathcal A(n)$ l'assertion « $p_n = 0,75+0,25\times 0,2^{n-1}$ ».
$p_1 = 1$ et \begin{align*} 0,75+0,25\times 0,2^{1-1} &= 0,75+0,25\times 0,2^0& \\ &= 0,75 + 0,25\times 1& \\ &= 1.& \end{align*} Donc $\mathcal A(1)$ est vraie.
Supposons que pour un entier $k$ non nul, $\mathcal A(k)$ soit vraie. Alors \begin{align*} p_{k+1} &= 0,2p_k + 0,6& \\ &= 0,2(0,75+0,25\times 0,2^{k-1}) + 0,6& \\ &=0,2\times 0,75 + 0,2\times 0,25\times 0,2^{k-1} + 0,6& \\ &=0,15 + 0,6 + 0,25 \times 0,2\times 0,2^{k-1}& \\ &=0,75 + 0,25\times 0,2^{k}& \\ &=0,75 + 0,25\times 0,2^{(k+1)-1}.& \end{align*} Donc $\mathcal A(k) \implies \mathcal A(k+1)$.
On a donc montré par récurrence que pour tout entier naturel $n$ non nul $\mathcal A(n)$ est vraie.

7. Déterminer la limite de la suite $(p_n)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
Corrigé

Puisque $0,2\in]-1;1[$, on sait que $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} 0,2^{n-1} = 0$.
On en déduit que $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} 0,25\times 0,2^{n-1} = 0$.
Et donc finalement $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} 0,75 + 0,25 \times 0,2^{n-1} = 0,75$.
Si, dans un temps assez lointain, on croise M. Durand se rendant au travail le matin, il y a quasiment 75 % de chances qu'il soit dans un transport en commun.

retour

code : 816