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Démontrer que pour tout réel $x$:
a.
$\dfrac{\mathrm e^{(x+1)^2}}{\mathrm e^{(x-1)^2}} = \mathrm e^{4x}$;
Corrigé
Pour tout réel $x$:
\begin{align*}
\frac{\mathrm e^{(x+1)^2}}{\mathrm e^{(x-1)^2}}
&=\mathrm e^{(x+1)^2 - (x-1)^2}&
\\
&=\mathrm e^{x^2 + 2x + 1 - (x^2 - 2x + 1)}&
\\
&=\mathrm e^{x^2 + 2x + 1 - x^2 + 2x - 1}&
\\
&=\mathrm e^{4x}.&
\end{align*}
b.
$3\mathrm e^{-2x} - 2\mathrm e^{-3x} = \dfrac{3\mathrm e^x - 2}{\mathrm e^{3x}}$.
Corrigé
Pour tout réel $x$
\begin{align*}
\frac{3\mathrm e^{x} - 2}{\mathrm e^{3x}}
&=\left(3\mathrm e^x - 2\right)\cdot \mathrm e^{-3x}&
\\
&3\mathrm e^x\cdot\mathrm e^{-3x} - 2\mathrm e^{-3x}&
\\
&=3\mathrm e^{x-3x} - 2\mathrm e^{-3x}&
\\
&=3\mathrm e^{-2x} - 2\mathrm e^{-3x}.&
\end{align*}
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