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Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\mathbb N$ par :
\[u_n = \dfrac{\mathrm e^{n+1}}{\mathrm e^{2n}}.\]
1.
Calculer le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ pour tout entier naturel $n$.
Corrigé
Pour tout entier naturel $n$:
\[ \frac{u_{n+1}}{u_n}
= \frac{\ \frac{\mathrm e^{n+1+1}}{\mathrm e^{2(n+1)}}\ }{\ \frac{\mathrm e^{n+1}}{\mathrm e^{2n}}\ }
= \frac{\mathrm e^{n+2}}{\mathrm e^{2n+2}} \times \frac{\mathrm e^{n+1}}{\mathrm e^{2n}}
=\frac{\mathrm e^1}{\mathrm e^2} = \frac 1 {\mathrm e}.
\]
2.
Comparer ce rapport à 1 ; en déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.
Corrigé
On sait que $\mathrm e > 1$, donc $\dfrac 1 {\mathrm e} < 1$.
De plus tous les termes de cette suite sont positifs, on peut en déduire que
la suite $(u_n)$ est décroissante.
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