retour
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ non nul par
\[u_n = 1+\frac{\sin(n)}{n}.\]
Démontrer que cette suite converge vers une valeur que l'on précisera.
Corrigé
On sait que pour tout réel $x$,
\[-1 \le \sin(x) \le 1.\]
Donc, a fortiori, pour tout entier naturel $n$ non nul:
\[\begin{aligned}
&-1\le \sin(n) \le 1&
\\ \implies
&-\frac 1 n \le \frac{\sin(n)}{n} \le \frac 1 n&
\end{aligned}\]
Or
\[\lim_{n\to+\infty} -\frac 1 n = \lim_{n\to+\infty} \frac 1 n = 0.\]
Donc, par encadrement :
\[\lim_{n\to+\infty} \frac{\sin(n)}{n} = 0.\]
On en déduit finalement que :
\[\lim_{n\to+\infty} 1+\frac{\sin(n)}{n} = 1.\]
retour