Pour chacune des suites ci-dessous, indiquer en justifiant si elle est arithmétique et, dans l'affirmative,
préciser sa raison.
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$u_0 =-7$ et pour tout entier naturel
\[u_{n+1} = -u_n + 22,5.\]
Corrigé
\begin{align*}
u_0 &= -7\;;&
\\
u_1 &= 7 + 22,5 = 29,5\;;&
\\
u_2 &= -29,5 + 22,5 = -7.&
\end{align*}
Si la suite $(u_n)$ étant arithmétique, il existerait un réel $r$ unique tel que, pour tout
entier naturel $n$
\[u_{n+1} = u_n + r \iff u_{n+1} - u_n = r.\]
Or ici
\[\begin{aligned}
u_1 - u_0 &= 29,5 - (-7) = 36,5\;;&
\\
u_2 - u_1 &= -7 - 29,5 = -36,5.&
\end{aligned}\]
Un tel réel $r$ ne peut donc exister. La suite $(u_n)$ n'est pas arithmétique.
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$v_1 = 1$ et pour tout entier naturel non nul $n$
\[v_{n+1} = v_n + \frac 1 n.\]
Corrigé
\begin{align*}
v_1 &= 1\;;&
\\
v_2 &= 1 + \dfrac 1 1 = 2\;;&
\\
v_3 &= 2 + \dfrac 1 2 = \dfrac 5 2.&
\end{align*}
Si la suite $(v_n)$ était arithmétique, il existerait un réel $r$ tel que, en particulier
\[r = v_2 - v_1 = 2 - 1 = 1\ \text{et}\ r = v_3 - v_2 = \frac 5 2 - 2 = \frac 1 2.\]
C'est impossible, donc la suite $(v_n)$ n'est pas arithmétique.
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$w_0 = 0,5$ et pour tout entier naturel $n$
\[w_{n+1} = w_n - \frac 1 3.\]
Corrigé
Pour tout entier naturel $n$ :
\[w_{n+1} = w_n - \frac 1 3 = w_n + \left(-\frac 1 3\right).\]
La suite $(w_n)$ est donc bien arithmétique de raison $-\dfrac 1 3$.
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$x_0 = 44$ et pour tout entier naturel $n$:
\[x_{n+1} = 3,2x_n.\]
Corrigé
\[\begin{aligned}
x_0 &= 44\;;&
\\
x_1 &= 3,2\times 44 = 140,8\;;&
\\
x_2 &= 3,2\times 140,8 = 450,56.&
\end{aligned}\]
Si la suite $(x_n)$ était arithmétique, sa raison $r$ vérifierait en particulier :
\[\begin{aligned}
r &= x_1 - x_0 =140,8 - 44 = 96,8\;;&
\\
r &= x_2 - x_1 = 450,56 - 140,8 = 309,76.&
\end{aligned}\]
C'est impossible, donc la suite $(x_n)$ n'est pas arithmétique.
(Elle est par contre géométrique de raison $q=3,2$.)