0. Rappels de seconde

Rappels de cours avec exercices corrigés

0. Rappels de première : probabilité conditionnelle

Rappels de cours avec exercices corrigés

0. Rappels de première : variable aléatoire

Rappels de cours avec exercices corrigés

Exercices corrigés complémentaires

1. Un peu de combinatoire

EX- EX- EX- EX- EX- (python)

2. Loi binomiale

EX- EX- EX- EX- EX- EX- EX-
(espérance et variance)

Bilans, approfondissements, types "bac"

EX- EX- EX- EX- EX- EX- EX- EX-

Compléments pour le cours

Démonstration prop. 6

Soit $E$ un ensemble de cardinal $n$.
(1). Il n'y a qu'une partie à 0 élément de $E$ ($\emptyset$). Il n'y a aussi qu'une seule partie à $n$ éléments de $E$ ($E$ lui-même).
Donc \[\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1.\] (2) Il y a $n$ parties à 1 élément de $E$ donc \[\binom{n}{1} = n.\] (3) À toute partie $P$ ayant $k$ éléments de $E$, on peut faire correspondre de manière univoque la partie $\overline P$ des éléments de $E$ qui ne sont pas dans $P$. Cette partie contient $n-k$ éléments.
Il y a donc autant de parties à $k$ éléments que de parties à $n-k$ éléments. \[\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}.\] (4) Considérons l'ensemble $E'$ constitué des éléments de $E$ plus un élément supplémentaire $e$. Il contient donc $n+1$ éléments.
Les parties ayant $k+1$ éléments de $E'$ se répartissent dans deux catégories bien distinctes.

Les parties ne contenant pas $e$, qui sont donc des parties de $k+1$ éléments d'un ensemble de cardinal $n$. Il y en a $\displaystyle\binom{n}{k+1}$.
Les parties contenant $e$, qui sont formées en ajoutant $e$ à $k$ éléments de $E$. Il y en a donc $\displaystyle\binom{n}{k}$.

Finalement, on a donc bien \[\binom{n+1}{k+1} = \binom{n}{k+1} + \binom{n}{k}.\]

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