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La loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ qui suit une loi binomiale de
paramètres $n=4$ et $p$ est partiellement donnée ci-dessous.
\[\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|} \hline
k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline
\rule[-.9em]{0em}{2.6em}P(X=k) & \dfrac{16}{81} & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline
\end{array}\]
Déterminer le paramètre $p$ et compléter le tableau.
Corrigé
\[P(X=0) = \binom{4}{1}p^0(1-p)^4 = (1-p)^4.\]
Donc
\[(1-p)^4 = \frac{16}{81} \implies 1 - p = \frac 2 3 \implies p = \frac 1 3.\]
Alors
\[\begin{aligned}
P(X=1) &= \binom{4}{1}\times\left(\frac 1 3\right)^1\times\left(\frac 2 3\right)^3&
\\
&=4\times \frac 1 3 \times \frac 8 {27} = \frac{32}{81}.&
\\
P(X=2) &= \binom{4}{2}\times\left(\frac 1 3\right)^2\times\left(\frac 2 3\right)^2&
\\
&=6 \times \frac 1 9 \times \frac 4 9 = \frac{24}{81} = \frac 8{27}.&
\\
P(X= 3) &= \binom{4}{3} \times \left(\frac 1 3\right)^3
\times \left(\frac 2 3\right)^1&
\\
&=4 \times \frac 1{27} \times \frac 2 3 = \frac 8{81}.&
\\
P(X=4) &= \binom{4}{4} \times \left(\frac 1 3\right)^4
\times \left(\frac 2 3\right)^0&
\\
&=1 \times \frac 1 {81} \times 1 = \frac 1{81}.&
\end{aligned}\]
Ce qui donne le tableau suivant.
\[\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|} \hline
k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline
\rule[-.9em]{0em}{2.6em}P(X=k) & \dfrac{16}{81} & \dfrac{32}{81} & \dfrac{8}{27} & \dfrac{8}{81} & \dfrac{1}{81} \\ \hline
\end{array}\]
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