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On tire une carte d'un jeu de 32 cartes (qui comprend donc 4 as).

On note s'il s'agit d'un as, puis on la remet dans le jeu.

On répète ce tirage trois fois de suite.

$X$ est la variable aléatoire qui donne le nombre d'as obtenus.

1. Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ?
   Corrigé
   La probabilité d'obtenir un as lors d'un tirage est \[p = \frac{4}{32} = \frac 1 8.\] Il y a trois tirages qui sont indépendants, car on remet à chaque fois la carte tirée dans le jeu.
   $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=\dfrac 1 8$.
2. Déterminer
   1. $P(X= 1)$;
      Corrigé
      \[P(X=1) = 3\times\frac 1 8 \times\left(\frac 7 8\right)^2 = \frac{147}{512}.\]
   2. $P(1\leqslant X < 3)$.
      Corrigé
      \[\begin{aligned} P(1\leqslant X <3) &= 1 - P(X=0) - P(X=3)& \\ &= 1 - \left(\frac 7 8\right)^3 - \left(\frac 1 8\right)^3& \\ &= 1 - \frac{343}{512}-\frac{1}{512}& \\ &= \frac{168}{512}.& \end{aligned}\]

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code : 147