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Les douanes s'intéressent aux importations de casques audio portant le logo d'une certaine marque. Les saisies des douanes permettent d'estimer que :

20% des casques audio portant le logo de cette marque sont des contrefaçons ;
2% des casques non contrefaits présentent un défaut de conception ;
10% des casques contrefaits présentent un défaut de conception.

L'agence des fraudes commande au hasard sur un site internet un casque affichant le logo de la marque.

On considère les évènements suivants :

$C$: « le casque est contrefait» ;
$D$: « le casque présente un défaut de conception » ;
$\overline{C}$ et $\overline{D}$ désignent respectivement les évènements contraires de $C$ et $D$.

Dans l'ensemble de l'exercice, les probabilités seront arrondies à 10⁻³ si nécessaire.

Partie 1

1. Calculer $P(C \cap D)$. On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.
Arbre pondéré Corrigé

$P(C\cap D) = P(C)\times P_C(D) = 0,2 \times 0,1 = 0,02$.

2. Démontrer que $P(D) = 0,036$.
Corrigé

\begin{align*} P(D) &= P(D\cap C) + P(D\cap \overline C)& \\ &=0,02 + 0,8 \times 0,02& \\ &= 0,02 + 0,016& \\ &= 0,036.& \end{align*}

3. Le casque a un défaut. Quelle est la probabilité qu'il soit contrefait ?
Corrigé

On cherche \[P_D(C) = \frac{P(C\cap D)}{P(D)} = \frac{0,02}{0,036} \approx 0,556.\]

Partie 2

On commande $n$ casques portant le logo de cette marque. On assimile cette expérience à un tirage aléatoire avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de casques présentant un défaut de conception dans ce lot.

1. Dans cette question, $n = 35$.

a. Justifier que $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ où $n = 35$ et $p = 0,036$.
Corrigé

Le choix des casques correspond à la répétition d'une expérience à deux issues : il a un défaut ou pas.
On assimile l'expérience à un tirage avec remise, donc les expériences successives sont indépendantes.
On est donc bien dans le cadre d'application de la loi binomiale. La probabilité de réussite d'une expérience particulière est $p = P(D) = 0,036$. L'expérience est répétée $n=35$ fois.

b. Calculer la probabilité qu'il y ait parmi les casques commandés, exactement un casque présentant un défaut de conception.
Corrigé

Puisque $X\hookrightarrow \mathscr B(n=35,p=0,036)$: \[P(X= 1) = \binom{35} 1 \times 0,036^1 \times (1-0,036)^{34} \approx 0,362.\]

c. Calculer $P(X \leqslant 1)$.
Corrigé

$P(X \le 1) = P(X=0)+P(X=1)$ donc \begin{align*} P(X\le 1) &= (1-0,036)^{35} + P(X = 1)& \\ &= 0,964^{35} + P(X=0)& \\ &\approx 0,277 + 0,362& \\ &\approx 0,639.& \end{align*}

2. Dans cette question, $n$ n'est pas fixé.
Quel doit être le nombre minimal de casques à commander pour que la probabilité qu'au moins un casque présente un défaut soit supérieur à 0,99 ?
Corrigé

Ici, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ inconnu et $p = 0,036$.
On souhaite déterminer $n$ tel que : \begin{align*} P(X\le 1) &> 0,99& \\ \iff 1 - P(X=0) &> 0,99& \\ \iff P(X = 0) &< 0,01& \\ \iff 0,934^n &< 0,01& \\ \iff \ln\left(0,934^n\right) &< \ln(0,01)& \\ \iff n \ln(0,934) &< \ln(0,01)& \\ \iff n &> \frac{\ln(0,01}{\ln(0,934)}& \end{align*} Puisque $\dfrac{\ln(0,01}{\ln(0,934)} \approx 67,44$, il faut prendre au moins $n = 68$ casques.

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code : 798