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Deux éleveurs produisent une race de poissons d'ornement qui ne prennent leur couleur définitive qu'à l'âge de trois mois :

pour les alevins du premier élevage, entre l'âge de deux mois et l'âge de trois mois, 10 % n'ont pas survécu, 75 % deviennent rouges et les 15 % restant deviennent gris.
pour les alevins du deuxième élevage, entre l'âge de deux mois et l'âge de trois mois, 5 % n'ont pas survécu, 65 % deviennent rouges et les 30 % restant deviennent gris.

Une animalerie achète les alevins, à l'âge de deux mois : 60 % au premier éleveur, 40 % au second.

1. Un enfant achète un poisson le lendemain de son arrivée à l'animalerie, c'est-à-dire à l'âge de deux mois. On note alors :

E₁ l'événement « le poisson acheté vient du premier élevage »;
E₂ l'événement « le poisson acheté vient du deuxième élevage »;
M l'événement « le poisson meurt dans le mois qui suit »;
R l'événement « le poisson devient rouge le mois suivant »;
G l'événement « le poisson devient gris le mois suivant ».

1.a. Schématiser la situation à l'aide d'un arbre de probabilités.
Corrigé

1.b. Montrer que la probabilité que le poisson soit toujours vivant un mois plus tard est de 0,92.
Corrigé

Calculons $P(M)$ : \[\begin{aligned} P(M) &= P(M\cap E_1) + P(M\cap E_2)& \\ &=P(E_1)\times P_{E_1}(M) + P(E_2)\times P_{E_2}(M)&\\ &=0,6 \times 0, 1 + 0,4\times 0,05& \\ &= 0,08. \end{aligned}\] Donc la probabilité que le poisson meurt dans le mois suivant est : \[P(\bar M) = 1 - P(M) = 1 - 0,08 = 0,92.\]

1.c. Déterminer la probabilité qu'un mois plus tard le poisson soit rouge.
Corrigé

De même, selon la formule des probabilités totales: \[\begin{aligned} &P(R)=P(E_1\cap R) + P(E_2\cap R)& \\ \iff &P(R) = P(E_1)\times P_{E_1}(R) + P(E_2)\times P_{E_2}(R)& \\ \iff &P(R) = 0,6 \times 0,75 + 0,4\times 0,65& \\ \iff &P(R) = 0,71.& \end{aligned}\]

1.d. Sachant que le poisson est gris à l'âge de trois mois, quelle est la probabilité qu'il provienne du premier élevage ?
Corrigé

On nous demande la probabilité de l'événement E₁ sachant l'événement G réalisé. Or : \[\begin{aligned} P(G) &= P(\bar M) - P(R) = 0,92 - 0,71 = 0,21;& \\ P(E_1\cap G) &= P(E_1) \times P_{E_1}(G) = 0,6 \times 0,15 = 0,09.& \end{aligned}\] Alors : \[P_G(E_1) = \frac{P(E_1\cap G)}{P(G)} = \frac{0,09}{0,21} = \frac{9}{21} = \frac 3 7.\]

2.a. Une personne choisit au hasard et de façon indépendante 5 alevins de deux mois.
Quelle est la probabilité qu'un mois plus tard, seulement trois soient en vie ?
On donnera une valeur approchée à 10⁻² près.
Corrigé

Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de poissons vivant au bout d'un mois. Les choix de poissons étant réalisés de manière indépendante, X suit la loi binomiale de paramètres n=5 et p=0,92. Donc : \[P(X=3) = \binom{5}{3}\times 0,92^3 \times 0,08^2 \approx 0,05.\] (peut aussi être obtenu avec calculatrice.)

2.b. L'animalerie décide de garder les alevins jusqu'à l'âge de trois mois, afin qu'ils soient vendus avec leur couleur définitive.
Elle gagne 1 € si le poisson est rouge, 0,25 € s'il est gris et perd 0,10 € s'il ne survit pas.
Soit G la variable aléatoire égale au gain algébrique de l'animalerie par poisson acheté.
Déterminer la loi de probabilité de G et son espérance mathématique, arrondie au centime.
Corrigé

On a déjà vu que $P(M) = 0,08$ et que $P(R) = 0,71$, donc \[P(G) = 1 - 0,71 - 0,08 = 0,21.\] La loi de G s'établit donc ainsi : \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline g & -0,1 & 0,25 & 1 \\ \hline P(G=g) & 0,08 & 0,21 & 0,71 \\ \hline \end{array} \] L'espérance de G est alors : \[\begin{aligned} \operatorname E(G) &= -0,1 \times 0,08 + 0,25 \times 0,212 + 1\times 0,71& \\ &\approx 0,75\ \text{€}.& \end{aligned}\]

image par Michael Rühle de Pixabay

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