Corrigés série d'exercices EX-02

Corrigés d'exercices du manuel

8 p. 31 9 p. 31 54 p. 42 55 p. 42
56 p. 42 57 p. 42 58 p. 42 60 p. 42
63 p. 42 66 p. 43 69 p. 43 72 p. 43
78 p. 44 79 p. 44 80 p. 44 81 p. 44
87 p. 44 89 p. 45 94 p. 45 101 p. 46
103 p. 46 105 p. 46 106 p. 46 107 p. 46
108 p. 46 114 p. 47 115 p. 47

Exercices corrigés complémentaires

Dénombrement "graphique" (diag. de Venn, tableau, arbre)

EX-01 EX-02 EX-03 EX-04
EX-05 EX-06 EX-07 EX-08

Permutations, arrangements

EX-09 EX-10 EX-11 EX-12
EX-13 EX-14 EX-15

Combinaisons, coefficients binomiaux

EX-16 EX-17 EX-18 EX-19
EX-20 EX-21 EX-22 EX-23 (python)

Compléments pour le cours

Démonstration prop. 18

Soit $E$ un ensemble de cardinal $n$.
(1). Il n'y a qu'une partie à 0 élément de $E$ (L'ensemble vide $\emptyset$). Il n'y a aussi qu'une seule partie à $n$ éléments de $E$ ($E$ lui-même).
Donc \[\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1.\] (2) Il y a $n$ parties à 1 élément de $E$ (une pour chaque élément de $E$) donc \[\binom{n}{1} = n.\]

Démonstration prop. 19

Soit $k$ un entier naturel inférieur ou égal à $n$.
À toute partie $P$ ayant $k$ éléments de $E$, on peut faire correspondre, de manière univoque la partie $\overline P$ des éléments de $E$ qui ne sont pas dans $P$. Cette partie contient $n-k$ éléments.
Il y a donc autant de parties à $k$ éléments que de parties à $n-k$ éléments. \[\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}.\]

Démonstration prop. 20 (rel. de Pascal)

Soit $E$ un ensemble ayant $n$ éléments avec $n\neq 0$.
Choisissons un élément particulier de $E$ que nous notons $e$. (On peut le faire puisque $n\neq 0$.)
Les parties ayant $k$ éléments de $E$ se répartissent dans les deux catégories distinctes suivantes.

Celles qui contiennent $e$ et $k-1$ autres éléments pris parmi les $n-1$ restants. Il y en a donc $\displaystyle\binom{n-1}{k-1}$.
Celles qui ne contiennent pas $e$ et contiennent donc $k$ éléments pris parmi les $n-1$ qui ne sont pas $e$. Il y en a donc $\displaystyle\binom{n-1}{k}$.

Donc le nombre de parties ayant $k$ éléments de $E$ est bien : \[\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}.\]

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