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Une entreprise espagnole emploie $p$ catalans et $q$ basques (avec $p\ge 2$ et $q\ge 2$).
Chaque matin, les employés se saluent deux par deux :

• en catalans s'ils sont tous deux catalans ;
• en basque s'ils sont tous deux basques ;
• en castillan si l'un d'eux est basque et l'autre catalan.

1. Exprimer en fonction de $p$ et $q$ le nombre de saluts dans chaque langue (catalan, basque, castillan).
   Corrigé
   Le nombre de saluts en catalan correspond au nombre de parties à deux éléments que l'on peut construire dans l'ensemble des $p$ employés catalans \[\binom{p}{2} = \frac{p(p-1)}2.\] De même, le nombre de saluts en basque correspond au nombre de parties à deux éléments que l'on peut construire dans l'ensemble des $q$ employés basques. \[\binom{q}{2} = \frac{q(q-1)}2.\] Chacun des $p$ employés catalans salut $q$ employés basques en castillan. Le nombre de saluts en castillan est donc \[pq.\]
2. En déduire la relation \[\binom{p+q}{2} = \binom{p}{2} + pq + \binom{q}{2}.\] Corrigé
   Le nombre total de salutations dans l'entreprise est le nombre de parties à deux éléments que l'on peut former dans l'ensemble des $p+q$ employés de l'entreprise. Il est donc égal à \[\binom{p+q}{2} =\frac{(p+q)(p+q-1)} 2.\] Ce nombre est aussi égal à la somme des salutations en catalan, basque et castillan. Donc on a \[\binom{p+q}{2} = \binom{p}{2}+pq+\binom{q}{2}.\]
3. Retrouver ce résultat par le calcul.
   Corrigé
   D'un côté nous avons \[\begin{aligned} \binom{n+p}{2} &=\frac{(p+q)(p+q-1)}2& \\ &=\frac{p^2+pq-p+pq+q^2-q} 2& \\ &=\frac{p^2 + q^2 + 2pq - p - q}2.& \end{aligned}\] D'un autre côté nous avons \[\begin{aligned} \binom{p}2 + pq + \binom{q}2 &=\frac{p(p-1)}2 + \frac{2pq}2 + \frac{q(q-1)}2& \\ &=\frac{p^2 - p + 2pq + q^2 - q}2& \\ &=\frac{p^2 + q^2 + 2pq - p - q}2.& \end{aligned}\] Ces deux quantités sont donc bien égales.

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code : 524