Corrigés d'exercices du manuel

8 p. 31 9 p. 31 54 p. 42 55 p. 42
56 p. 42 57 p. 42 58 p. 42 60 p. 42
63 p. 42 66 p. 43 69 p. 43 72 p. 43
78 p. 44 79 p. 44 80 p. 44 81 p. 44
87 p. 44 89 p. 45 94 p. 45 101 p. 46
103 p. 46 105 p. 46 106 p. 46 107 p. 46
108 p. 46 114 p. 47 115 p. 47

Exercices corrigés complémentaires

EX-01 EX-02 EX-03 EX-04 EX-05 (python)
EX-06 EX-07 EX-08 EX-09 EX-10
EX-11 EX-12 EX-13 EX-14 EX-15

Compléments pour le cours

Démonstration prop. 17

Soit $E$ un ensemble de cardinal $n$.
(1). Il n'y a qu'une partie à 0 élément de $E$ (L'ensemble vide $\emptyset$). Il n'y a aussi qu'une seule partie à $n$ éléments de $E$ ($E$ lui-même).
Donc \[\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1.\] (2) Il y a $n$ parties à 1 élément de $E$ (une pour chaque élément de $E$) donc \[\binom{n}{1} = n.\]

Démonstration prop. 18

Soit $k$ un entier naturel inférieur ou égal à $n$.
À toute partie $P$ ayant $k$ éléments de $E$, on peut faire correspondre de manière univoque la partie $\overline P$ des éléments de $E$ qui ne sont pas dans $P$. Cette partie contient $n-k$ éléments.
Il y a donc autant de parties à $k$ éléments que de parties à $n-k$ éléments. \[\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}.\]

Démonstration prop. 19 (rel. de Pascal)

Considérons l'ensemble $E'$ constitué des éléments de $E$ plus un élément supplémentaire noté $e$.
Il contient donc $n+1$ éléments.
Les parties ayant $k+1$ éléments de $E'$ se répartissent dans deux catégories bien distinctes.

Les parties ne contenant pas $e$, qui sont donc des parties de $k+1$ éléments d'un ensemble de cardinal $n$. Il y en a $\displaystyle\binom{n}{k+1}$.
Les parties contenant $e$, qui sont formées en ajoutant $e$ à $k$ éléments de $E$. Il y en a donc $\displaystyle\binom{n}{k}$.

Finalement, on a donc bien \[\binom{n+1}{k+1} = \binom{n}{k+1} + \binom{n}{k}.\]

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