Corrigés d'exercices du manuel

8 p. 31 9 p. 31 54 p. 42 55 p. 42
56 p. 42 57 p. 42 58 p. 42 60 p. 42
63 p. 42 66 p. 43 69 p. 43 72 p. 43
78 p. 44 79 p. 44 80 p. 44 81 p. 44
87 p. 44 89 p. 45 94 p. 45 101 p. 46
103 p. 46 105 p. 46 106 p. 46 107 p. 46
108 p. 46 114 p. 47 115 p. 47

Exercices corrigés complémentaires

Dénombrement "graphique" (diag. de Venn, tableau, arbre)

EX-01 EX-02 EX-03 EX-04
EX-05 EX-06 EX-07 EX-08

Permutations, arrangements

EX-09 EX-10 EX-11 EX-12
EX-13 EX-14 EX-15

Combinaisons, coefficients binomiaux

EX-16 EX-17 EX-18 EX-19
EX-20 EX-21 EX-22 EX-23 (python)

Compléments pour le cours

Démonstration prop. 17

Soit $E$ un ensemble de cardinal $n$.
(1). Il n'y a qu'une partie à 0 élément de $E$ (L'ensemble vide $\emptyset$). Il n'y a aussi qu'une seule partie à $n$ éléments de $E$ ($E$ lui-même).
Donc \[\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1.\] (2) Il y a $n$ parties à 1 élément de $E$ (une pour chaque élément de $E$) donc \[\binom{n}{1} = n.\]

Démonstration prop. 18

Soit $k$ un entier naturel inférieur ou égal à $n$.
À toute partie $P$ ayant $k$ éléments de $E$, on peut faire correspondre de manière univoque la partie $\overline P$ des éléments de $E$ qui ne sont pas dans $P$. Cette partie contient $n-k$ éléments.
Il y a donc autant de parties à $k$ éléments que de parties à $n-k$ éléments. \[\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}.\]

Démonstration prop. 19 (rel. de Pascal)

Considérons l'ensemble $E'$ constitué des éléments de $E$ plus un élément supplémentaire noté $e$.
Il contient donc $n+1$ éléments.
Les parties ayant $k+1$ éléments de $E'$ se répartissent dans deux catégories bien distinctes.

Les parties ne contenant pas $e$, qui sont donc des parties de $k+1$ éléments d'un ensemble de cardinal $n$. Il y en a $\displaystyle\binom{n}{k+1}$.
Les parties contenant $e$, qui sont formées en ajoutant $e$ à $k$ éléments de $E$. Il y en a donc $\displaystyle\binom{n}{k}$.

Finalement, on a donc bien \[\binom{n+1}{k+1} = \binom{n}{k+1} + \binom{n}{k}.\]

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