N. Belliard
Compléments des cours
T.MATHSGR6
IX. Primitives et équations différentielles

retour

Complément au cours

Démonstration propriété 2

Pour tout réel $k$, soit $F_2 = F_1 + k$.
Alors $F_2$ est dérivable sur $I$, de fonction dérivée $F_1' = f$. Donc $F_2$ est bien aussi une primitive de $f$ sur $I$.
Réciproquement, soit $F_2$ est une primitive de $f$. Considérons alors la fonction $\Phi$ définie sur $I$ par $\Phi = F_2 - F_1$.
$\Phi$ est dérivable sur $I$, de fonction dérivée \[\Phi' = F_2' - F_1' = f - f = 0.\] Donc $\Phi$, de dérivée nulle est une fonction constante.
Notons $k = \Phi(x)$ (pour n'importe quel $x\in I$. Alors: \[\Phi = F_2 - F_1 \iff k = F_2 - F_1 \iff F_2 = F_1 + k.\]

Démonstration théorème 3

Soit $F_1$ une primitive de $f$ sur $I$. Pour toute primitive $F$ de $f$, il existe un réel $k$ tel que \[F = F_1 + k.\]
Cette primitive passe par le point de coordonnées $(x_0,y_0)$ ssi: \[F(x_0) = y_0 \iff F_1(x_0) + k = y_0 \iff k = y_0 - F_1(x_0).\] Il n'y a donc qu'une et une seule valeur de $k$ qui convient, donc une et une seule fonction primitive.

Démonstration théorème 8

Soit $f$ une solution sur $\mathbb R$ de l'équation \[y'=ay.\tag{E}\] Cela signifie que $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ et que pour tout réel $x$: \[f'(x) = af(x) \iff f'(x) -af(x) = 0.\] On vérifie aisément que $x\mapsto \mathrm e^{ax}$ est une solution de (E). Soit donc $\varphi$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par \[\varphi(x) = \frac{f(x)}{\mathrm e^{ax}} = f(x)\cdot\mathrm e^{-ax}.\] Elle est le produit de deux fonctions dérivables sur $\mathbb R$, donc est elle-même dérivable sur $\mathbb R$.
Pour tout réel $x$: \begin{align*} \varphi'(x)&=f'(x)\mathrm e^{-ax} + f(x)\cdot\left(-a\mathrm e^{-ax}\right)& \\ &=f'(x)\mathrm e^{-ax} - af(x)\mathrm e^{-ax}& \\ &=\underbrace{(f'(x) - af(x))}_{0}\mathrm e^{-ax}& \\ &=0.& \end{align*} Donc $\varphi$ est une fonction constante. Il existe un réel $C$ tel que, pour tout réel $x$, \[\varphi(x) = C \iff \frac{f(x)}{\mathrm e^{ax}} = C \iff f(x) = C\mathrm e^{ax}.\] Les solutions de (E) ne peuvent être que des fonctions de la forme $x\mapsto C\mathrm e^{ax}$, où $C$ est une constante.
Réciproquement. Soit $C$ est une constante réelle et $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x) = C\mathrm e^{ax}$.
Alors $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ et pour tout réel $x$: \[f'(x) =Ca\mathrm e^{ax} = a\cdot C\mathrm e^{ax} = af(x).\] Donc $f$ est bien une solution de (E).
Conclusion. Les solutions de (E) sont exactement les fonctions définies sur $\mathbb R$ par $x\mapsto C\mathrm e^{ax}$ où la constante $C$ peut prendre n'importe quelle valeur réelle.

Démonstration du théorème 9

Si $y$ est une solution de (E), alors \[(y-y_0)'-a(y-y_0) = y' -y_0' -ay + ay_0 = y'-ay -(y_0'-ay_0) = F - F = 0.\] Donc $y-y_0$ est bien une solution de (H).
Réciproquement, si $y-y_0$ est une solution de (H) alors \[\begin{aligned} (y-y_0)'-a(y-y_0) &= 0& \\ \iff y'-y'_0 -ay + ay_0 &= 0& \\ \iff y'-ay amp;&= y'_0 -ay_0& \\ \iff y'-ay &= F.& \end{aligned}\] Donc $y$ est bien une solution de (E).