retour
Soient les systèmes d'équations :
\[(1)\begin{cases}3x - y = 17\\2x + 3y = 15\end{cases}
\quad\text{et}\quad
(2)\begin{cases}3\mathrm e^x - \mathrm e^y = 17\\2\mathrm e^x + 3\mathrm e^y = 15\end{cases}.\]
Résoudre (1) et en déduire la résolution de (2).
Résolution système (1)
Résolution système (2)
\[\begin{aligned}
&\begin{cases}
3x - y = 17\\
2x + 3y = 15
\end{cases}&
\iff
&\begin{cases}
3x - 17 = y\\ 2x + 3(3x-17)= 15
\end{cases}&
\\ \iff
&\begin{cases}
y = 3x - 17\\2x + 9x - 51 = 15
\end{cases}&
\iff
&\begin{cases}
y = 3x - 17\\x = 6
\end{cases}&
\\ \iff
&\begin{cases}
y = 3\times 6 - 1 = 1\\x = 6
\end{cases}&
\end{aligned}\]
Donc
\[S = \big\{(6\;;\;1)\big\}.\]
Posons $X=\mathrm e^x$ et $Y = \mathrm e^y$, on reconnaît le système (1).
\[\begin{cases}
3\mathrm e^x - \mathrm e^y = 17\\
2\mathrm e^x + 3\mathrm e^y = 15
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
3X - Y = 17\\2X + 3Y = 15
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
X = 6\\ Y = 1
\end{cases}.\]
Puis
\[\begin{aligned}
&X=6 \iff \mathrm e^x = 6 \iff x = \ln 6&
\\
&Y = 1 \iff \mathrm e^y = 1 \iff y = 0&
\end{aligned}\]
Donc
\[S = \big\{(\ln 6\;;\; 0)\big\}.\]
retour