N. Belliard
Compléments des cours
T.MATHSGR1
VIII. Dénombrement

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Corrigés d'exercices du manuel

8 p. 31 9 p. 31 54 p. 42 55 p. 42
56 p. 42 57 p. 42 58 p. 42 59 p. 42
60 p. 42 61 p. 42 63 p. 42 65 p. 43
66 p. 43 67 p. 43 69 p. 43 70 p. 43
71 p. 43 72 p. 43 73 p. 43 75 p. 44
76 p. 44 77 p. 44 78 p. 44 79 p. 44
80 p. 44 81 p. 44 84 p. 44 85 p. 44
86 p. 44 87 p. 44 89 p. 45 90 p. 45
93 p. 45 94 p. 45 101 p. 46 103 p. 46
105 p. 46 106 p. 46 107 p. 46 108 p. 46
109 p. 47 114 p. 47 115 p. 47

Démonstrations

Propriétés 16 à 19

Vues au chapitre II

Propriété 20

Soit $E$ un ensemble ayant $n$ éléments ($n\ge 1$).
Considérons les éléments de $E$ ordonnés (l'ordre choisi est arbitraire).
Chaque partie $P$ de $E$ est alors définie de manière unique par un n-uplet d'éléments de $I=\{0;1\}$ où 0 représente "l'élément n'est pas dans l'ensemble" et 1 représente "l'élément est dans l'ensemble".
Par exemple, si $E=\{a;b;c;d\}$, la partie $P=\{a;c\}$ sera définie par le quadruplet $(1;0;1;0)$.
Il y a donc autant de parties que de n-uplets de $I^n$ : \[\operatorname{card}(I^n) = 2^n.\] En sommant le nombre de parties à 0 élément, avec le nombre de parties à 1 élément et ainsi de suite jusqu'au nombre de parties à $n$ éléments, on obtient bien le nombre total de parties de $E$. D'ou: \[\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} =2^n.\]

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