0. Révisions éventuelles

1. Définition

Déf. On appelle système de deux équations linéaires à deux inconnues le regroupement de deux équations \[\begin{cases}ax+by+c = 0\\a'x+b'y+c'=0\end{cases}\tag{S}\] où $a$, $a'$, $b$, $b'$, $c$ et $c'$ sont des constantes réelles quelconques.
Résoudre un tel système revient à trouver des couples de réels $(x,y)$ qui vérifient simultanément les deux équations.

Ex. Soit le système \[\begin{cases}3x-y = 1\\7x-2y=3\end{cases}.\] Le couple $(x,y) = (1;2)$ est solution de ce système car alors \[\begin{aligned} 3x -y & = 3\times 1 - 2 = 1\;;& \\ 7x - 2y &=7\times 1 - 2\times 2 = 3.& \end{aligned}\] On admettra pour l'instant que c'est l'unique solution, donc \[S = \left\{(1;2)\right\}.\]

2. Interprétation graphique

On suppose ici que $(a,b)\neq (0,0)$ et $(a',b')\neq 0$.

Soient alors $d$ la droite d’équation $ax+by+c=0$ et $d'$ la droite d’équation $$a'x+b'y+c'=0$.

$(x,y)$ est une solution du système (S) si et seulement si ce couple vérifie à la fois les équations de $d$ et de $d'$.

$(x,y)$ est donc solution de (S) ssi $M(x,y)$ est à la fois sur $d$ et sur $d'$.

Si $d$ et $d'$ sont sécantes, le système (S) admet une solution unique. Si elles sont confondues, il y a une infinité de solutions (les coordonnées des points de $d=d'$). Si elles sont strictement parallèles, le système est sans solution.

$\vec u\binom{-b}{a}$ est un vecteur directeur de $d$ et $\vec u'\binom{-b'}{a'}$ un vecteur directeur de $d'$.
Le système a une solution unique si et seulement si \[\begin{aligned} \det\left(\vec u,\vec u'\right) &= 0& \\ \iff \begin{vmatrix}-b & -b'\\-a & -a'\end{vmatrix} &=0& \\ \iff (-b)a' - (-b')a &=0& \\ \iff -a'b + ab' &=0& \\ \iff ab' - a'b &=0. \end{aligned}\]

Prop. & déf. On appelle déterminant du système \[\begin{cases}3x-y = 1\\7x-2y=3\end{cases}.\] le réel $ab' - a'b$.
Ce système admet un unique couple solution si et seulement si son déterminant est non nul.

3. Résolution d'un système par calcul

3.1. Méthode de "substitution"

(Dans ce qui suit, $x$ et $y$ ont des rôles interchangeables)

On utilise une des équations pour exprimer $y$ en fonction de $x$.
On remplace $y$ par l’expression obtenue dans l’autre équation;
Cette équation n'a donc plus qu'une seule inconnue.
On résout cette équation.
On reprend la première équation en remplaçant $x$ par la valeur trouvée.
On obtient alors la valeur de $y$.

Ex. Résolvons par le calcul le système donné en exemple plus haut: \[\begin{cases}3x-y = 1\\7x-2y=3\end{cases}.\] La première équation permet d'isoler facilement $y$: \[3x-y = 1 \iff 3x -1 = y.\] On substitue $y$ dans la deuxième équation: \[\begin{aligned} 7x -2y &= 3& \\ \iff 7x - 2(3x-1) &= 3& \\ \iff 7x - 6x + 2&=3& \\ \iff x &=3-2& \\ \iff x& = 1.& \end{aligned}\] On reprend enfin la première équation \[y = 3x - 1 = 3\times 1 - 1 = 2.\] On a donc bien \[S = \left\{(1;2)\right\}.\]

3.2. Méthode de "combinaison linéaire"

Cette méthode, plus difficile à apréhender, se révèlera plus efficace pour résoudre des systèmes plus grands (plus de deux équations et deux inconnues).

Elle se base sur les rgèles suivantes que l'on admettra.

Règles

Dans un système, on peut remplacer une équation par sa somme membre à membre avec une autre équation du système sans en changer les solutions (on obtient un système "équivalent").
Dans un système, on peut multiplier les deux membres d'une équation par un réel non nul sans en changer les solutions.

On transforme donc le système à l'aide de ces deux règles pour "éliminer" une des inconnues d'une équation.

Ex. Reprenons encore le même système exemple. \[\begin{cases}3x-y = 1\\7x-2y=3\end{cases}.\] On multiplie la première ligne par $-2$: \[ \begin{cases}3x-y = 1\\7x - 2y = 3\end{cases} \iff \begin{cases}-6x + 2y = -2\\7x - 2y = 3\end{cases}. \] Cela nous a permis d'avoir des quantités opposées de $y$ dans les deux équations. On remplace donc maintenant la deuxième équation par sa somme membre à membre avec la première. \[ \begin{cases}-6x + 2y = -2\\7x - 2y = 3\end{cases} \iff \begin{cases}-6x + 2y = -2\\\boxed{x = 1}\end{cases} \] On peut alors terminer par substitution: \[ \begin{aligned} &\begin{cases}-6x + 2y = -2\\x = 1\end{cases}& \\ \iff &\begin{cases}-6\times 1 + 2y = -2\\x=1\end{cases}& \\ \iff &\begin{cases}2y = -2 + 6\\ x= 1\end{cases}& \\ \iff &\begin{cases}y = \frac{4}2 = 2\\ x= 1\end{cases}& \end{aligned}\] Donc \[S = \left\{(1;2)\right\}.\]