1. Vecteur directeur

Déf. Soit $d$ une droite. Si $A$ et $B$ sont deux points distincts de $d$, alors $\vec u = \overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $d$.

Comme son nom l'indique, le vecteur directeur nous donne la direction de la droite $d$.

Rem. Tous les vecteurs directeurs de $d$ sont colinéaires entre eux.
Tout vecteur non nul colinéaire à un vecteur directeur de $d$ est un autre vecteur directeur de $d$.

Rem. Deux droites sont parallèles ssi elles admettent des vecteurs directeurs colinéaires.

2. Équation cartésienne d’une droite

Dans tout ce chapitre, on se place dans un repère $\left(O;\vec i,\vec j\right)$ quelconque et on considère une droite $d$ passant par un point $A$ et admettant $\vec u\neq \vec 0$ pour vecteur directeur.
Une telle droite peut se note $d = D(A;\vec u)$.
Cette droite est formée de tous les points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}$ soit colinéaire à $\vec u$.

Déf. On appelle équation de la droite $d$ une équation dont les solutions sont les coordonnées des points de la droite $d$ et seulement les coordonnées des points de la droite $d$.

Prop. Toute droite $d$ admet pour équation \[ax + by + c = 0\] dans laquelle $a$, $b$ et $c$ sont des constantes réelles. Réciproquement, si $(a,b)\neq (0,0)$, l'équation \[ax + by + c = 0\] est l'équation d'une droite de vecteur directeur $\vec u\binom{-b}{a}$.

Déf. L'équation $ax+by+c=0$ est appelée équation cartésienne de la droite.

Preuve (de la partie directe). Soit $d=D(A;\vec u)$ avec $A(x_0,y_0)$ et $\vec u\binom{\alpha}{\beta}$.
Un point $M(x,y)$ appartient $d$ ssi les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\vec u$ sont colinéaires.
Le vecteur $\overrightarrow{AM}$ a pour coordonnées : \[\binom{x-x_A}{y-y_A}.\] Donc $M$ est sur $d$ si et seulement si: \[\begin{aligned} \det\left(\vec u,\overrightarrow{AM}\right) &=0& \\ \iff \begin{vmatrix}\alpha & x-x_0\\ \beta & y - y_0\end{vmatrix} &=0& \\ \iff \alpha(y-y_0) - \beta(x-x_0) &=0& \\ \iff \alpha y - \alpha y_0 - \beta x + \beta x_0 &=0& \\ \iff \underbrace{-\beta}_{a}x + \underbrace{\alpha}_{b}y + \underbrace{-\alpha y_0 + \beta x_0}_{c} &=0.& \end{aligned}\] En posant $a = -\beta$, $b=\alpha$ et $c=-\alpha y_0 + \beta x_0$, on obtient bien une équation cartésienne. De plus le vecteur directeur $\vec u$ a pour coordonnées \[\binom{\alpha}{\beta} = \binom{-b}{a}.\]

Remarque. Une droite admet une infinité d'équations cartésiennes.

3. Équation réduite

Soit $d$ une droite d'équation cartésienne \[ax + by + c = 0.\]

Si $b = 0$, cela signifie qu'elle admet pour vecteur directeur $\vec u\binom{0}{a}$. D'après ses coordonnées, $\vec u$ est colinéaire à $\vec j$, donc la droite $d$ est parallèle à l'axe des ordonnées.
L'équation de $d$ se transforme en : \[ax + c = 0 \iff \boxed{x = -\frac c a.}\]
Si $b\neq 0$, la droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées (on la dit parfois « oblique »).
L'équation de $d$ se transforme en : \[\begin{aligned} &ax+by + c = 0& \\ \iff &by = -ax - c& \\ \iff & \boxed{y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}.}.& \end{aligned}\]

Dans ces deux cas, l'équation obtenue est l'équation réduite de la droite.

Rem. L'équation réduite d'une droite donnée présente l'avantage d'être unique. Par contre, sa forme n'est pas universelle car elle dépend de si la droite est parallèle ou pas à l'axe des ordonnées.

Déf. Dans le cas où la droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées, en posant $m = -\frac{a}{b}$ et $p=-\frac{c}{b}$, on obtient l'équation \[y = mx + p.\] C'est pourquoi on parle aussi d'équation affine (voir cours sur les fonctions affines).
\[ m = -\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{\text{ordonnée de }\vec u}{\text{abscisse de }\vec u}.\] Il s'appelle ici aussi le coefficient directeur. Si $x = 0$, \[y = mx + p = m\times 0 + p = p.\] Donc le point de coordonnées $(0;p)$ appartient à la droite. On appelle donc $p$ l'ordonnée à l'origine.

4. Parallélisme de droites obliques

Soient $d$ et $d'$ deux droites d'équation affines respectives \[d: y=mx+p\ \text{et}\ d':y=m'x+p'.\] Puisque : \[ m = \frac m 1\] le vecteur $\vec u\binom{1}{m}$ dirige $d$. De même, $\vec u'\binom{m'}{1}$ dirige $d'$.
$d$ et $d'$ sont parallèles ssi: \[\begin{aligned} \det\left(\vec u,\vec u'\right) &= 0& \\ \iff \begin{vmatrix}m & m'\\ 1 & 1\end{vmatrix} &=0& \\ \iff 1m - 1m' &=0& \\ \iff m &= m'. \end{aligned}\]

Prop. Deux droites obliques sont parallèles ssi leurs coefficients directeurs sont égaux.