Avant de commencer, on pourra utilement réviser :
Calcul littéral
1. Polynômes
Déf.
Soit $n$ un entier naturel, on appelle fonction polynôme (ou tout simplement polynôme) de degré $n$
toute fonction $P$ définie sur $\mathbb R$ par :
\[ P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0,\]
où $a_n$, $a_{n-1}$, …, $a_1$ et $a_0$ sont des constantes réelles, avec $a_n \neq 0$.
Ex.
-
La fonction définie sur $\mathbb R$ par
\[x\mapsto x^5 - 2x^3 + \frac 1 2x - 2\]
est une fonction polynôme de degré 5.
-
Les fonctions affines non constantes sont des fonctions polynômes de degré 1.
-
Une fonction constante est une fonction polynôme de degré 0.
Déf.
Une fonction polynôme de degré 2 (aussi appelée fonction trinôme) est donc une fonction $P$
définie sur $\mathbb R$ par
\[ P(x) = ax^2 + bx + c,\]
où $a$, $b$ et $c$ sont trois constantes réelles avec $a\neq 0$.
Déf.
$a$ est le coefficient de degré 2 (ou coefficient principal), $b$ est le coefficient de degré 1
et $c$ est le coefficient de degré $0$.
De même, $ax^2$ est le terme de degré 2, $bx$ le terme de degré 1 et $c$ le terme de degré 0 ou encore le terme constant.
Exercices
EX-01
EX-02
EX-03*
2. Forme canonique
Lemme
Pour tous réels $a$ et $b$ :
\[\begin{aligned}
a^2 + 2ab &= (a+b)^2 - b^2\;;&
\\
a^2 - 2ab &= (a-b)^2 - b^2.&
\end{aligned}\]
Preuve
\[\begin{aligned}
(a+b)^2 - b^2 &= a^2 + 2ab + b^2 - b^2 = a^2 + 2ab\;;&
\\
(a-b)^2 - b^2 &=a^2 -2ab + b^2 - b^2 = a^2 - 2ab.&
\end{aligned}\]
prop. & Déf.
Soit $P:x\mapsto ax^2 + bx + c$ une fonction polynôme de degré 2.
Il existe un couple unique de réels $(\alpha;\beta)$ tels que:
\[P(x) = a\left(x -\alpha\right)^2 + \beta.\]
Cette écriture de $P(x)$ s'appelle la forme canonique de $P(x)$.
Rem.
\[\alpha = -\frac b {2a}.\]
Ex.
-
\[\begin{aligned}
P(x) &=x^2 + 6x + 1&
\\
&=\underbrace{x^2+2(x)(3)}_{\text{lemme}} + 1&
\\
&=(x+3)^2 - 3^2 + 1&
\\
&=(x+3)^2 - 9 + 1&
\\
&=\left(x-(-3)\right)^2 - 8.&
\end{aligned}\]
Cette dernière expression est la forme canonique de $P(x)$, avec $\alpha = -3$ et $\beta = -8$.
-
\[\begin{aligned}
Q(x)&=5x^2 - 3x + 1&
\\
&=5\left(x^2 - \frac 3 5 x\right) + 1&
\\
&=5\left[\underbrace{x^2 - (2)(x)\left(\frac 3{10}\right)}_{\text{lemme}}\right]
+ 1&
\\
&=5\left[\left(x - \frac{3}{10}\right)^2 - \left(\frac 3 {10}\right)^2\right]
+ 1&
\\
&=5\left(x - \frac 3 {10}\right)^2 - 5\times \frac 9 {100} + 1&
\\
&=5\left(x - \frac 3 {10}\right)^2 - \frac{9}{20} + \frac{20}{20}&
\\
&=5\left(x - \frac 3 {10}\right)^2 + \frac{11}{20}.&
\end{aligned}\]
On a donc la forme canonique de $Q(x)$ avec $\alpha = \frac 3{10}$ et $\beta = \frac{11}{20}$.
Preuve.
Pour tout réel $x$, on a donc :
\[\begin{aligned}
P(x) &= ax^2 + bx + c&
\\
&= a\left[x^2 + \frac b a x\right] + c&
\\
&=a\left[\underbrace{x^2 + 2 \times \frac b{2a}x}_{\text{lemme}}\right] + c&
\\
&=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right] + c&
\\
&= a\left[\left(x + \frac b {2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2}\right] + c&
\\
&= a\left(x + \frac b {2a}\right)^2 -a\frac{b^2}{4a^2}+c&
\\
&=a\left[x - \left(-\frac b {2a}\right)\right]^2 - \frac{b^2}{4a} + \frac{4ac}{4a}&
\\
&=a\left[x - \left(-\frac b{2a}\right)\right]^2 + \frac{-b^2 + 4a}{4a}.&
\end{aligned}\]
C'est bien la forme canonique de $P(x)$ avec $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = \frac{-b^2+4ac}{4a}$.
Exercices
EX-04
EX-05
3. Parabole
Prop. & déf.
La courbe représentative d'une fonction polynôme de degré 2 est une parabole.
Ce résultat est admis.
Prop.
-
Si $a>0$, $P$ est décroissante sur $\left]-\infty;-\frac{b}{2a}\right]$
et croissante sur $\left[-\frac b {2a};+\infty\right[$.
-
Si $a < 0$, $P$ est croissante sur $\left]-\infty;-\frac{b}{2a}\right]$
et décroissante sur $\left[-\frac{b}{2a};+\infty\right[$.
Voir figure plus bas.
Preuve.
Rappelons la forme canonique de $P(x)$ :
$P(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$.
Considérons $a>0$ et $x_1$ et $x_2$ deux réels quelconques de l'intervalle
$\left]-\infty;-\frac b{2a}\right]$
Alors :
\[x_1 < x_2 \implies x_1 - \frac b{2a} < x_2 - \frac b{2a}.\]
Or $x_1$ et $x_2$ étant dans l'intervalle $\left]-\infty;-\frac b {2a}\right]$,
les deux membres de cette inégalité sont négatifs.
La fonction carré est décroissante sur $]-\infty;0]$ donc :
\[x_1 - \frac b{2a} < x_2 - \frac b {2a}
\implies
\left(x_1 - \frac b {2a}\right)^2 > \left(x_2 - \frac b {2a}\right)^2.\]
Le coefficient $a$ étant ici strictement positif, multiplier par $a$ ne change pas l'ordre :
\[\begin{aligned}
\left(x_1 - \frac b {2a}\right)^2 &> \left(x_2 - \frac b {2a}\right)^2&
\\ \implies
a\left(x_1 - \frac b {2a}\right)^2 &> a\left(x_2 - \frac b {2a}\right)^2&
\\ \implies
a\left(x_1 - \frac b {2a}\right)^2 + \beta &> a\left(x_2 - \frac b {2a}\right)^2 + \beta&
\\ \implies
P(x_1) &> P(x_2).&
\end{aligned}\]
Sur l'intervalle $\left]-\infty;-\frac b{2a}\right]$,
les images sont toujours dans l'ordre inverse des antécédents.
C'est caractéristique d'une fonction décroissante.
On procède de manière analogue dans les autres cas.
Déf.
Le point $S$ de la parabole ayant pour abscisse $-\dfrac b {2a}$
est appelé sommet de cette parabole.
Prop.
La droite d'équation
\[x=-\frac b {2a}\]
est un axe de symétrie de la parabole.
Voir figure plus bas.
Preuve.
Rappelons à nouveau que dans la forme canonique,
\[-\dfrac b{2a} = \alpha.\]
Il faut montrer que pour tout réel $\delta$:
\[P(\alpha -\delta) = P(\alpha + \delta).\]
Or
\[
P(\alpha-\delta)
=a(\alpha-\delta -\alpha)^2 + \beta = (-\delta)^2 + \beta = \delta^2 + \beta.\]
Tandis que
\[P(\alpha+\delta) = a(\alpha + \delta - \alpha)^2 + \beta = \delta^2+\beta.\]
4. Racines d'un polynôme de degré 2
Théo.
Soit $P$ la fonction polynôme de degré 2 définie pour tout réel $x$ par $P(x)=ax^2+bx + c$.
-
Si $\Delta<0$, $P(x)$ n'admet aucune racine et ne peut pas être factorisé.
-
Si $\Delta =0$, $P(x)$ admet pour unique racine
\[x_0=-\frac b {2a}\]
et
\[P(x)=a(x-x_0)^2.\]
-
Si $\Delta >0$, alors $P(x)$ admet deux racines distinctes
\[x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\quad\text{et}\quad x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a},\]
et
\[P(x) = a(x-x_1)(x-x_2).\]
Démo.
La forme canonique de $P(x)$ est :
\[\begin{aligned}
P(x)&=a(x - \alpha)^2 + \beta&
\\
&=a\left((x - \alpha)^2 + \frac{\beta}a\right)&
\\
&=a\left((x-\alpha)^2 - \frac{-\beta}{a}\right).&
\end{aligned}\]
avec :
\[\frac{-\beta}{a} = -\frac{-b^2+4ac}{4a}\times \frac 1 a = \frac{b^2-4ac}{4a^2}=\frac{\Delta}{4a^2}.\]
Donc finalement :
\[P(x) = a\left((x-\alpha)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right).\tag{1}\]
Nous allons maintenant chercher à factoriser $P(x)$.
Si $\Delta > 0$
alors on peut utiliser la différence de deux carrés:
\[\begin{aligned}
P(x) &= a\left((x-\alpha)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right)&
\\
&=a\left[(x-\alpha)^2 - \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2\right]&
\\
&=a\left((x-\alpha) - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left((x-\alpha)
+ \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)&
\\
&=a\left(x-\alpha - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)
\left(x - \alpha + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)&
\\
&=a\left(x - \frac{2a\alpha+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)
\left(x - \frac{2a\alpha - \sqrt{\Delta}}{2a}\right)&
\end{aligned}\]
Sachant que
\[\alpha = -\dfrac{b}{2a} \implies 2a\alpha = -b.\]
On obtient finalement
\[P(x) = a\left(x - \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)
\left(x - \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right).\]
De cette forme factorisée, on déduit que l'équation $P(x) = 0$ admet deux solutions
\[x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\quad\text{et}\quad x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.\]
Si $\Delta = 0$
alors
$\beta = -\dfrac{\Delta}{4a} = 0$.
Donc
$P(x) = (x-\alpha)^2$.
Ce polynôme est donc déjà factorisé et
\[\begin{aligned}
P(x) &= 0&
\\ \iff
(x-\alpha)^2 &= 0&
\\ \iff
x - \alpha &= 0&
\\ \iff
x &= \alpha = -\frac b{2a}.&
\end{aligned}\]
Si $\Delta < 0$, reprenons l'équation (1).
\[P(x) = a\left((x-a)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right).\]
Puisque $\Delta$ est négatif et $4a^2$ est positif,
\[-\frac{\Delta}{4a^2}>0.\]
De plus $(x-a)^2$ est aussi positif, donc
\[(x-\alpha)^2 - \frac{\Delta}{4a^2} \ge -\frac{\Delta}{4a^2} > 0.\]
Cette expression ne s'annule jamais, donc $P(x)$ non plus.
L'équation $P(x) = 0$ est sans solution.
Prop. (somme et produit des racines).
Soit $P(x)=ax^2+bx+c$ un polynôme admettant deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$. Alors
\[x_1 + x_2 = -\frac b a \quad\text{et}\quad x_1x_2 = \frac c a.\]
Si $P(x)$ admet une unique racine $x_0$, le résultat précédent reste vrai en posant $x_0 = x_1 = x_2$.
Preuve.
On a déjà vu que si $x_1$ et $x_2$ sont les racines du polynôme $P(x)$:
\[\begin{aligned}
P(x) &= a(x-x_1)(x-x_2)&
\\
&= a(x^2 - x_2x - x_1x + x_1x_2)&
\\
&= ax^2 -a(x_1+x_2)x + ax_1x_2.&
\end{aligned}\]
Or sous sa forme développée, $P(x)$ s'écrit
\[P(x) = ax^2 + bx + c.\]
Puisque $P(x)$ ne peut avoir qu'une seule forme développée, on a donc
\[\begin{aligned}
-a(x_1+x_2) = b &\implies x_1 + x_2 = -\frac b a&\\
ax_1x_2 = c &\implies x_1x_2 = \frac c a.&
\end{aligned}\]
Si $P(x)$ admet une unique racine $x_0 = x_1 = x_2$:
\[\begin{aligned}
P(x) &= a(x-x_0)^2&
\\
&=a(x^2 - 2x_0x + x_0^2)&
\\
&=ax^2 -2ax_0x + ax_0^2.&
\end{aligned}\]
or
\[-2ax_0 = -a(2x_0) = -a(x_0 + x_0) = -a(x_1+x_2).\]
et
\[ax_0^2 = x_0 x_0 = x_1 x_2.\]
On procède ensuite de manière similaire au cas précédent.
Exercices
EX-06
EX-07
EX-08
EX-08*
EX-09*
EX-10
EX-11
(Avec la fonction exponentielle.)
EX-12
5. Signe d'une fonction polynôme de degré 2
Prop.
Tableau de signe d'une fonction polynôme de degré 2 :
-
Si $P(x)$ n'a pas de racine :
-
Si $P(x)$ admet une racine unique $x_0$:
-
Si $P(x)$ admet deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ avec $x_1 < x_2$:
On le résume en disant que « $P(x)$ est toujours du signe de $a$
à l'extérieur de ses racines ».
Preuve.
Rappelons à nouveau que :
\[P(x) = a\left((x-\alpha)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right).\tag{1}\]
Si $P(x)$ n'a pas de racine, $\Delta < 0$ et on a déjà montré que
\[(x-\alpha)^2 - \frac{\Delta}{4a^2} > 0.\]
Donc $P(x)$ est du signe de $a$.
Si $P(x)$ admet la racine unique $x_0$, alors pour tout réel $x$
\[P(x) = a(x-x_0)^2.\]
Le carré $(x-x_0)^2$ étant positif, $P(x)$ est donc du signe de $a$.
Si $P(x)$ admet deux racines $x_1$ et $x_2$ avec $x_1<x_2$,
\[P(x) = a(x-x_1)(x-x_2).\]
On peut alors établir le tableau de signes suivant
Exercices
EX-12*
(Avec la fonction exponentielle.)
EX-13
EX-14
(Sur l'ensemble de la leçon.)
EX-15
EX-16
EX-17
EX-18*