polynômes du second degré
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Avant de commencer, on pourra utilement réviser :

Calcul littéral

1. Polynômes

Déf. Soit $n$ un entier naturel, on appelle fonction polynôme (ou tout simplement polynôme) de degré $n$ toute fonction $P$ définie sur $\mathbb R$ par : \[ P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0,\] où $a_n$, $a_{n-1}$, …, $a_1$ et $a_0$ sont des constantes réelles, avec $a_n \neq 0$.

Ex.

Déf. Une fonction polynôme de degré 2 (aussi appelée fonction trinôme) est donc une fonction $P$ définie sur $\mathbb R$ par \[ P(x) = ax^2 + bx + c,\] où $a$, $b$ et $c$ sont trois constantes réelles avec $a\neq 0$.

Déf. $a$ est le coefficient de degré 2 (ou coefficient principal), $b$ est le coefficient de degré 1 et $c$ est le coefficient de degré $0$.
De même, $ax^2$ est le terme de degré 2, $bx$ le terme de degré 1 et $c$ le terme de degré 0 ou encore le terme constant.

Exercices

EX-01 EX-02 EX-03*

2. Forme canonique

Lemme Pour tous réels $a$ et $b$ : \[\begin{aligned} a^2 + 2ab &= (a+b)^2 - b^2\;;& \\ a^2 - 2ab &= (a-b)^2 - b^2.& \end{aligned}\]

Preuve

\[\begin{aligned} (a+b)^2 - b^2 &= a^2 + 2ab + b^2 - b^2 = a^2 + 2ab\;;& \\ (a-b)^2 - b^2 &=a^2 -2ab + b^2 - b^2 = a^2 - 2ab.& \end{aligned}\]

prop. & Déf. Soit $P:x\mapsto ax^2 + bx + c$ une fonction polynôme de degré 2.
Il existe un couple unique de réels $(\alpha;\beta)$ tels que: \[P(x) = a\left(x -\alpha\right)^2 + \beta.\] Cette écriture de $P(x)$ s'appelle la forme canonique de $P(x)$.

Rem. \[\alpha = -\frac b {2a}.\]

Ex.

  1.  
    \[\begin{aligned} P(x) &=x^2 + 6x + 1& \\ &=\underbrace{x^2+2(x)(3)}_{\text{lemme}} + 1& \\ &=(x+3)^2 - 3^2 + 1& \\ &=(x+3)^2 - 9 + 1& \\ &=\left(x-(-3)\right)^2 - 8.& \end{aligned}\] Cette dernière expression est la forme canonique de $P(x)$, avec $\alpha = -3$ et $\beta = -8$.
  2.  
    \[\begin{aligned} Q(x)&=5x^2 - 3x + 1& \\ &=5\left(x^2 - \frac 3 5 x\right) + 1& \\ &=5\left[\underbrace{x^2 - (2)(x)\left(\frac 3{10}\right)}_{\text{lemme}}\right] + 1& \\ &=5\left[\left(x - \frac{3}{10}\right)^2 - \left(\frac 3 {10}\right)^2\right] + 1& \\ &=5\left(x - \frac 3 {10}\right)^2 - 5\times \frac 9 {100} + 1& \\ &=5\left(x - \frac 3 {10}\right)^2 - \frac{9}{20} + \frac{20}{20}& \\ &=5\left(x - \frac 3 {10}\right)^2 + \frac{11}{20}.& \end{aligned}\] On a donc la forme canonique de $Q(x)$ avec $\alpha = \frac 3{10}$ et $\beta = \frac{11}{20}$.

Preuve.

Pour tout réel $x$, on a donc : \[\begin{aligned} P(x) &= ax^2 + bx + c& \\ &= a\left[x^2 + \frac b a x\right] + c& \\ &=a\left[\underbrace{x^2 + 2 \times \frac b{2a}x}_{\text{lemme}}\right] + c& \\ &=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right] + c& \\ &= a\left[\left(x + \frac b {2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2}\right] + c& \\ &= a\left(x + \frac b {2a}\right)^2 -a\frac{b^2}{4a^2}+c& \\ &=a\left[x - \left(-\frac b {2a}\right)\right]^2 - \frac{b^2}{4a} + \frac{4ac}{4a}& \\ &=a\left[x - \left(-\frac b{2a}\right)\right]^2 + \frac{-b^2 + 4a}{4a}.& \end{aligned}\] C'est bien la forme canonique de $P(x)$ avec $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = \frac{-b^2+4ac}{4a}$.

Exercices

EX-04 EX-05

3. Parabole

Prop. & déf. La courbe représentative d'une fonction polynôme de degré 2 est une parabole.

Ce résultat est admis.

Prop.

Voir figure plus bas.

Preuve.

Rappelons la forme canonique de $P(x)$ :
$P(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$.
Considérons $a>0$ et $x_1$ et $x_2$ deux réels quelconques de l'intervalle $\left]-\infty;-\frac b{2a}\right]$ Alors : \[x_1 < x_2 \implies x_1 - \frac b{2a} < x_2 - \frac b{2a}.\] Or $x_1$ et $x_2$ étant dans l'intervalle $\left]-\infty;-\frac b {2a}\right]$, les deux membres de cette inégalité sont négatifs.
La fonction carré est décroissante sur $]-\infty;0]$ donc : \[x_1 - \frac b{2a} < x_2 - \frac b {2a} \implies \left(x_1 - \frac b {2a}\right)^2 > \left(x_2 - \frac b {2a}\right)^2.\] Le coefficient $a$ étant ici strictement positif, multiplier par $a$ ne change pas l'ordre : \[\begin{aligned} \left(x_1 - \frac b {2a}\right)^2 &> \left(x_2 - \frac b {2a}\right)^2& \\ \implies a\left(x_1 - \frac b {2a}\right)^2 &> a\left(x_2 - \frac b {2a}\right)^2& \\ \implies a\left(x_1 - \frac b {2a}\right)^2 + \beta &> a\left(x_2 - \frac b {2a}\right)^2 + \beta& \\ \implies P(x_1) &> P(x_2).& \end{aligned}\] Sur l'intervalle $\left]-\infty;-\frac b{2a}\right]$, les images sont toujours dans l'ordre inverse des antécédents. C'est caractéristique d'une fonction décroissante.
On procède de manière analogue dans les autres cas.

Déf. Le point $S$ de la parabole ayant pour abscisse $-\dfrac b {2a}$ est appelé sommet de cette parabole.

Prop. La droite d'équation \[x=-\frac b {2a}\] est un axe de symétrie de la parabole.

Voir figure plus bas.

Preuve.

Rappelons à nouveau que dans la forme canonique, \[-\dfrac b{2a} = \alpha.\] Il faut montrer que pour tout réel $\delta$: \[P(\alpha -\delta) = P(\alpha + \delta).\] Or \[ P(\alpha-\delta) =a(\alpha-\delta -\alpha)^2 + \beta = (-\delta)^2 + \beta = \delta^2 + \beta.\] Tandis que \[P(\alpha+\delta) = a(\alpha + \delta - \alpha)^2 + \beta = \delta^2+\beta.\]

lien forme canonique et parabole

4. Racines d'un polynôme de degré 2

Théo. Soit $P$ la fonction polynôme de degré 2 définie pour tout réel $x$ par $P(x)=ax^2+bx + c$.

Démo.

La forme canonique de $P(x)$ est : \[\begin{aligned} P(x)&=a(x - \alpha)^2 + \beta& \\ &=a\left((x - \alpha)^2 + \frac{\beta}a\right)& \\ &=a\left((x-\alpha)^2 - \frac{-\beta}{a}\right).& \end{aligned}\] avec : \[\frac{-\beta}{a} = -\frac{-b^2+4ac}{4a}\times \frac 1 a = \frac{b^2-4ac}{4a^2}=\frac{\Delta}{4a^2}.\] Donc finalement : \[P(x) = a\left((x-\alpha)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right).\tag{1}\] Nous allons maintenant chercher à factoriser $P(x)$.
Si $\Delta > 0$ alors on peut utiliser la différence de deux carrés: \[\begin{aligned} P(x) &= a\left((x-\alpha)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right)& \\ &=a\left[(x-\alpha)^2 - \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2\right]& \\ &=a\left((x-\alpha) - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left((x-\alpha) + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)& \\ &=a\left(x-\alpha - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \left(x - \alpha + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)& \\ &=a\left(x - \frac{2a\alpha+\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \left(x - \frac{2a\alpha - \sqrt{\Delta}}{2a}\right)& \end{aligned}\] Sachant que \[\alpha = -\dfrac{b}{2a} \implies 2a\alpha = -b.\] On obtient finalement   \[P(x) = a\left(x - \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \left(x - \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right).\] De cette forme factorisée, on déduit que l'équation $P(x) = 0$ admet deux solutions \[x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\quad\text{et}\quad x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.\]
Si $\Delta = 0$ alors $\beta = -\dfrac{\Delta}{4a} = 0$.
Donc $P(x) = (x-\alpha)^2$.
Ce polynôme est donc déjà factorisé et \[\begin{aligned} P(x) &= 0& \\ \iff (x-\alpha)^2 &= 0& \\ \iff x - \alpha &= 0& \\ \iff x &= \alpha = -\frac b{2a}.& \end{aligned}\]
Si $\Delta < 0$, reprenons l'équation (1). \[P(x) = a\left((x-a)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right).\] Puisque $\Delta$ est négatif et $4a^2$ est positif, \[-\frac{\Delta}{4a^2}>0.\] De plus $(x-a)^2$ est aussi positif, donc \[(x-\alpha)^2 - \frac{\Delta}{4a^2} \ge -\frac{\Delta}{4a^2} > 0.\] Cette expression ne s'annule jamais, donc $P(x)$ non plus. L'équation $P(x) = 0$ est sans solution.

Prop. (somme et produit des racines). Soit $P(x)=ax^2+bx+c$ un polynôme admettant deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$. Alors \[x_1 + x_2 = -\frac b a \quad\text{et}\quad x_1x_2 = \frac c a.\] Si $P(x)$ admet une unique racine $x_0$, le résultat précédent reste vrai en posant $x_0 = x_1 = x_2$.

Preuve.

On a déjà vu que si $x_1$ et $x_2$ sont les racines du polynôme $P(x)$: \[\begin{aligned} P(x) &= a(x-x_1)(x-x_2)& \\ &= a(x^2 - x_2x - x_1x + x_1x_2)& \\ &= ax^2 -a(x_1+x_2)x + ax_1x_2.& \end{aligned}\] Or sous sa forme développée, $P(x)$ s'écrit \[P(x) = ax^2 + bx + c.\] Puisque $P(x)$ ne peut avoir qu'une seule forme développée, on a donc \[\begin{aligned} -a(x_1+x_2) = b &\implies x_1 + x_2 = -\frac b a&\\ ax_1x_2 = c &\implies x_1x_2 = \frac c a.& \end{aligned}\] Si $P(x)$ admet une unique racine $x_0 = x_1 = x_2$: \[\begin{aligned} P(x) &= a(x-x_0)^2& \\ &=a(x^2 - 2x_0x + x_0^2)& \\ &=ax^2 -2ax_0x + ax_0^2.& \end{aligned}\] or \[-2ax_0 = -a(2x_0) = -a(x_0 + x_0) = -a(x_1+x_2).\] et \[ax_0^2 = x_0 x_0 = x_1 x_2.\] On procède ensuite de manière similaire au cas précédent.

Exercices

EX-06 EX-07 EX-08 EX-08* EX-09* EX-10 EX-11
(Avec la fonction exponentielle.)
EX-12

5. Signe d'une fonction polynôme de degré 2

Prop. Tableau de signe d'une fonction polynôme de degré 2 :

On le résume en disant que « $P(x)$ est toujours du signe de $a$ à l'extérieur de ses racines ».

Preuve.

Rappelons à nouveau que : \[P(x) = a\left((x-\alpha)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right).\tag{1}\] Si $P(x)$ n'a pas de racine, $\Delta < 0$ et on a déjà montré que \[(x-\alpha)^2 - \frac{\Delta}{4a^2} > 0.\] Donc $P(x)$ est du signe de $a$.
Si $P(x)$ admet la racine unique $x_0$, alors pour tout réel $x$ \[P(x) = a(x-x_0)^2.\] Le carré $(x-x_0)^2$ étant positif, $P(x)$ est donc du signe de $a$.
Si $P(x)$ admet deux racines $x_1$ et $x_2$ avec $x_1<x_2$, \[P(x) = a(x-x_1)(x-x_2).\] On peut alors établir le tableau de signes suivant
tableau de signes

Exercices

EX-12*
(Avec la fonction exponentielle.)
EX-13 EX-14
(Sur l'ensemble de la leçon.)
EX-15 EX-16 EX-17 EX-18*