Calcul littéral
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Un calcul littéral (ou calcul algébrique) est un calcul dans lequel interviennent des lettres.

1. Transformations d’écritures

1.1. Statut de la lettre dans un calcul littéral

Dans un calcul littéral, la lettre peut :

1.2. Nommer un calcul littéral

Si, dans un calcul algébrique, le dernier calcul à faire est une addition (ou soustraction), alors ce calcul s’appelle une somme et les quantités additionnées s'appellent les termes.
Si ce dernier calcul est une multiplication (ou division), alors ce calcul s’appelle un produit et les quantités multipliées s'appellent les facteurs.

1.3. Règles de transformation d'un calcul littéral

On utilise les règles de distributivité et les identités remarquables :

Prop. (distributivité) $a$, $b$, $c$ et $d$ étant des nombres réels : \[\begin{aligned} a(b+c)&=ab+ac\;;& \\ (a+b)(c+d)&=ac+ad+bc+bd.& \end{aligned}\]

Cas particulier de la première règle : \[-(a-b)=-1×(a-b)=-1×a+(-1)×(-b)=-a+b.\]

Prop. (Identités/produits remarquables) Pout tous réels $a$ et $b$ : \[\begin{aligned} (a+b)^2&=a^2+2ab+b^2\;;& \\ (a-b)^2&=a^2-2ab+b^2\;;& \\ (a+b)(a-b)&=a^2-b^2.& \end{aligned}\]

Preuve

On utilise la deuxième forme de distributivité \begin{flalign*} &(a+b)^2& \\ =&(a+b)\cdot(a+b)& \\ = &a\cdot a + a\cdot b + b\cdot a + b\cdot b& \\ =&a^2 + ab + ab + b^2& \\ =&a^2 + 2ab + b^2& \end{flalign*} On réutilise cette formule: \begin{flalign*} &(a-b)^2& \\ =& \left(a + (-b)\right)^2& \\ =& a^2 + 2a(-b)+(-b)^2& \\ =&a^2 -2ab + b^2.& \end{flalign*} On utilise à nouveau la double distribuitivité. \begin{flalign*} &(a+b)(a-b)& \\ =&a\cdot a + a\cdot (-b) + b\cdot a + b\cdot (-b)& \\ =& a^2 -\cancel{ab} + \cancel{ab} - b^2& \\ =&a^2 - b^2& \end{flalign*}

1.4. Développer et réduire un calcul littéral

Développer, c’est transformer un produit en somme. Pour développer, on va utiliser les règles de transformation de gauche à droite.

Réduire un calcul, c’est réaliser les opérations que l’on peut d’ores et déjà faire, sans connaître la valeur des lettres.
Ex. $2x+3x$ donne $5x$ ou encore $3\times 2x$ donne $6x$.

Exemples de développements

Exemple 1. Développer et réduire $x(3x + 7)$
On utilise la première règle de distributivité \begin{flalign*} \require{action} &{\color{Red}x}\texttip{(3x + 7)}{blabla}& \\ &={\color{Red}x}\cdot 3x + {\color{Red}x}\cdot 7& \\ &=3x^2 + 7x.& \end{flalign*}
Exemple 2. Développer et réduire $(5x+2)(3x - 5)$
\begin{flalign*} &({\color{Red}5x}+{\color{Green}2})(3x - 5)& \\ &={\color{Red}5x}\cdot 3x + {\color{Red}5x}\cdot(-5) +{\color{Green}2}\cdot 3x + {\color{Green}2}\cdot (-5)& \\ &=15x^2 -25x + 6x - 10& \\ &=15x^2 -19x - 10.& \end{flalign*}
Exemple 3. Développer et réduire $(5x - 7)^2$.
On reconnaît ici l'identité remarquable \[(a+b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\] avec $a=5x$ et $b = 7$.
Donc \begin{flalign*} &(5x - 7)^2& \\=&(5x)^2 - 2\cdot 5x \cdot 7 + 7^2& \\=&25x^2 - 10x + 49.& \end{flalign*}

1.5. Factoriser un calcul littéral

Factoriser, c’est transformer une somme en produit. Pour factoriser, il faut :

  1. d'abord identifier les termes du calcul.
  2. Puis :
    • Soit tous ces termes comportent un même facteur (appelé facteur commun) et on "met en facteur" en utilisant la première règle de distributivité.
    • Soit tous ces termes forment le développement d'une identité remarquable et on utilise cette dernière de droite à gauche.

Exemples de factorisations

Exemple 1. Avec un facteur commun
Factoriser $3x^3 - 5x^2$
Les deux termes sont $3x^3=3x\cdot{\color{Red}x^2}$ et $5{\color{Red}x^2}$.
Dans ces deux termes, ${\color{Red} x^2}$ est un facteur "commun".
Donc \[ 3x^3 -5x^2 = x^2(3x - 5). \] Exemple 2. Avec un facteur commun.
Factoriser $x^2 + x$.
Les deux termes sont $x^2 = {\color{Red}x}\cdot x$ et $x = {\color{Red}x}\cdot 1$.
Donc \[x^2 + x = x(x+1).\] Exemple 3. Identité remarquable.
Factoriser $4x^2 + 12x + 9$.
Ici les trois termes sont $4x^2$, $12x$ et $9$. Ils ne comportent pas de facteur commun, donc on cherche une identité remarquable.
Il y a trois termes et pas de signe −, donc la seule identité possible est \[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\] La présence du carré nous conduit à penser que \[a^2 = 4x^2=(2x)^2 \implies a = 2x.\] De même, 9 est un carré donc \[b^2 = 9 \implies b = 3.\] Avant de conclure, vérifions le double produit \[2ab = 2\cdot 2x \cdot 3 = 12x.\] On a donc : \[4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2.\] Exemple 4. Identité remarquable.
Factoriser $(5x + 1)^2 - 9$.
On est en présence d'une différence de deux carrés, donc on va utiliser \[a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\] avec
$a^2=(5x+1)^2$ donc $a=5x + 1$
et $b^2 = 9$ donc $b = 3$.
\[\begin{aligned} &(5x+1)^2 - 9& \\= &(5x+1)^2 - 3^2& \\= &\left[(5x+1) + 3\right]\cdot\left[(5x+1) - 3\right]& \\= &(5x+1+3)(5x+1-3)& \\= &(5x+4)(5x-2)& \end{aligned}\]

2. Égalités et équations

2.1. Définitions

Déf. Une égalité est une relation entre deux quantités égales appelée membres, séparée par un signe =.

Déf. Une équation est une égalité a priori dans laquelle se trouve une inconnue (souvent $x$).
Résoudre cette équation, c’est trouver son ensemble solution, autrement dit l’ensemble de toutes les valeurs de l’inconnue qui rendent l’égalité vraie.

Règles de transformation d’une égalité

Prop. Une égalité reste inchangée si l’on ajoute un même nombre à ses deux membres ou si l’on multiplie ses deux membres par un réel non nul.
Autrement dit :
Pour tout réel $c$: \[A = B \iff A+c = B + c.\] Pour tout réel $c$ non nul: \[A = B \iff cA = cB.\]

Pour résoudre une équation, on peut utiliser ces règles de transformation jusqu'à isoler l'inconnue dans un seul membre de l'équation.

Exemple d'équation de premier degré

Exemple 1 (inconnue dans un seul membre)

Résoudre $3x + 7 = 1$.
On va "démonter" le calcul $3x+7$ pour arriver à $x$.
Il faut donc le faire dans le sens inverse de son montage, c.a.d. par ordre de priorités croissantes
On commence donc par la somme et on va déplacer (transposer) $7$. \begin{flalign*} &3x + 7 = 1& \\ \iff &{\color{DarkOrchid}3x + 7 -7 = 1 - 7}& \\ \iff &3x = 1 - 7& \\ \iff &3x = -6& \end{flalign*} En pratique, la ligne en violet n'est pas écrite. Il en ira de même pour les autres lignes en violet.
On "démonte" désormais le produit $3x$. \begin{flalign*} &3x = -6& \\ \iff &{\color{DarkOrchid}\frac 1 3 \cdot 3x = \frac 1 3\cdot(-6)}& \\ \iff &x = -\frac 6 3& \\ \iff & x= -2.& \end{flalign*} On conclut en donnant l'ensemble des solutions
$ S = \big\{-2\big\}$.
Exemple 2 (inconnue dans les deux membres)

Résoudre $7x - 4 = 3x + 1$.
On transpose simultanément $3x$ à gauche et $-4$ à droite. \begin{flalign*} &5x - 4 = 3x + 1& \\ \iff &5x - 3x = 1 + 5& \end{flalign*} On réduit puis on résout comme dans l'exemple précédent. \begin{flalign*} &5x - 3x = 1 + 5& \\ \iff &2x = 6& \\ \iff & x = \frac 6 2& \\ \iff & x= 3.& \\ S &= \big\{3\big\}.& \end{flalign*}
Exemple 3 (quotient sans inconnue au dénominateur)
Résoudre \begin{flalign*} &\frac{3x + 1} 5 = 1& \end{flalign*} La division par 5 est le dernier calcul du membre de gauche. Il faut donc d'abord transposer ce 5. \begin{flalign*} &\frac{3x+1} 5 = 1& \\ \iff &3x + 1 = 1\times 5& \\ \iff &3x + 1 = 5& \\ \iff &3x = 5 - 1& \\ \iff & 3x = 4& \\ \iff & x = \frac 4 3.& \\ S &= \left\{\frac 4 3\right\}& \end{flalign*} Exemple 4 (quotients des deux côtés)
Résoudre \begin{flalign*} &\frac{2x + 1} 3 = \frac{4 - x} 5& \end{flalign*} On commence par un produit en croix. \begin{flalign*} &\frac{2x+1} 3 = \frac{4 - x} 5& \\ \iff &5(2x+1) = 3(4 - x)& \\ \iff &10x + 5 = 12 - 3x& \\ \iff &10x + 3x = 12 - 5& \\ \iff &7x = 7& \\ \iff & x = \frac 7 7& \\ \iff & x = 1& \\ S = &\big\{1\big\}.& \end{flalign*}

2.3. Règle du « produit nul »

Prop. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul. \[A \times B = 0 \iff \begin{cases}A=0\\ \text{ou}\\ B = 0\end{cases}.\]

Si une équation est de la forme $A\times B \times \cdots=0$, alors ses solutions sont les solutions de $A=0$, $B=0$,…

Exemples d'équations produits

Exemple 1
Résoudre dans $\mathbb R$: \[(3x + 1)(7x - 1) = 0\] On reconnaît ici un produit nul. Donc
Soit \begin{flalign*} &3x + 1 =0& \\ \iff &3x = -1& \\ \iff &x = -\frac 1 3\;;& \end{flalign*} Soit \begin{flalign*} &7x - 1 = 0& \\ \iff &7x = 1& \\ \iff & x = \frac 1 7.& \end{flalign*} Finalement \begin{flalign*} &S = \left\{-\frac 1 3\;;\; \frac 1 7\right\}.& \end{flalign*}
Exemple 2 (factorisation nécessaire)

Résoudre dans ℝ : \begin{flalign*} &x^2 + 4 = 4x& \end{flalign*} La présence simultanée de $x^2$ et de $x$ rend impossible une résolution seulement par transposition.
Il faut se ramener à une équation "produit nul".
Commençons par "nul" : \begin{flalign*} &x^2 + 4 = 4x& \\ \iff &x^2 - 4x + 4 = 0& \end{flalign*} On a une équation "nulle", il faut maintenant que ce soit une équation "produit".
Il y a trois termes, l'un d'eux affecté d'un signe moins. On peut tenter le produit remarquable \begin{flalign*} &(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2& \end{flalign*} avec $a^2 = x^2$ donc $a= x$, $b^2 = 4$ donc $b = 2$ et $2ab = 2\times x \times 2 = 4x$.
Alors : \begin{flalign*} &x^2 - 4x + 4 = 0& \\ \iff &(x-2)^2 = 0& \\ \iff &x - 2 = 0& \\ \iff &x = 2.& \\ S = &\big\{2\big\}& \end{flalign*}

2.4. Valeurs interdites

Def. Si une valeur de $x$ rend le calcul impossible (car on aurait une division par zéro ou la racine carrée d'un nombre strictement négatif), on dit que cette valeur est interdite.

S'il peut y avoir des valeurs interdites dans une équation, elles doivent être identifiées AVANT de résoudre l'équation. Il faudra ensuite vérifier que les solutions données par le calcul ne sont pas interdites.

Exemple d'équation "quotient"

Exemple. Résoudre \[ \frac{3x+1}{x+2} = 1 \] La présence de l'inconnue au dénominateur pose un premier problème : le calcul est-il seulement possible ?
En effet, on ne peut pas diviser par 0. Or c'est ce qui se produira si \begin{flalign*} &x +2 = 0 \iff x = -2 \end{flalign*} $-2$ est une valeur interdite dans cette équation.
On résout désormais l'équation. \begin{flalign*} &\frac{3x+1}{x+2} = 1& \\ \iff &3x + 1 = 1\times (x+2)& \\ \iff &3x + 1 = x + 2& \\ \iff &3x - x = 2 - 1& \\ \iff &2x = 1& \\ \iff &x = \frac 1 2.& \end{flalign*} Puisque $\dfrac 1 2 \neq -2$, c'est bien une solution de notre équation. \begin{flalign*} &S = \left\{\frac 1 2\right\}.& \end{flalign*}

3. Intervalles

Déf. Soient $a$ et $b$ deux réels avec $a<b$. On note :

$[a;b]$, $]a;b[$ … sont appelés des intervalles. Le premier est dit "fermé", le second est dit "ouvert".

Les symboles $-\infty$ et $+\infty$ se lisent « moins l'infini » et « plus l'infini ».

Déf. Soit $[a,b]$ un intervalle avec $a\in\mathbb R$ et $b\in\mathbb R$. On appelle amplitude de $[a,b]$ le réel $b-a$.

4. Inégalités

4.1. Règles de transformation d’une inégalité

Déf. Une inégalité est une relation du type « plus grand » ou « plus petit » entre deux quantités que l’on appelle ses membres.

Prop.

Inéquations

Déf. Une inéquation est une inégalité dans laquelle se trouve (au moins) une inconnue.
Résoudre cette inéquation, c’est donner son ensemble solution. Cet ensemble est souvent un intervalle.
Pour résoudre une inéquation, on peut utiliser les règles de transformation pour isoler l'inconnue dans un seul membre de l'inéquation.
D'autres méthodes pour résoudre des inéquations seront vues ultérieurement.