Corrigé SUP02-01

1.a. D'après la consigne : $u_1 = 21000$.
Puisque le contrat 1 prévoit une augmentation de 1000 € chaque année :
$u_2 = u_1 + 1000 = 21000 + 1000 = 22000$.
Et de même :
$u_3 = u_2 + 1000 = 22000 + 1000 = 23000$.

1.b. $u_n$ étant le salaire d'une année donnée, le salaire de l'année suivante, noté $u_{n+1}$, sera obtenu en ajoutant 1000. Donc : \[u_{n+1} = u_n +1000.\]

1.c. La relation $u_{n+1} = u_n + 1000$ nous indique que la suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r=1000$.

1.d. On en déduit que pour tout entier naturel $n$ non nul : \[u_{n} = u_1 + (n-1)r = 21000 + (n-1)\times 1000.\] On peut éventuellement simplifier cette expression : \[\begin{aligned} u_n &= 21000 + (n-1)\times 1000& \\ &= 21000 + 1000n - 1000& \\ &= 20000 + 1000n.& \end{aligned}\]

Si $n=15$ alors \[\begin{aligned} u_n &= 21000 + 1000(n-1)& \\ \implies u_{15} &= 21000 + 1000\times (15 - 1) \\ &= 21000 + 14000& \\ &= 35000.& \end{aligned}\]

2.a. Augmenter une quantité de 8 % revient à la multiplier par \[1+\frac 8{100} = 1+0,08 = 1,08.\] Donc, dans le cadre du contrat 2, chaque année le salaire est multiplié par 1,08.
Alors : \[\begin{aligned} v_1 &= 18000\;;& \\ v_2 &= 1,08v_1 = 1,08 \times 18000 = 19440\;;& \\ v_3 &= 1,08v_2 = 1,08\times 19440 = 20995,20.& \end{aligned}\]

2.b. Plus généralement, pour tout entier naturel $n$ différent de 0 : \[v_{n+1} = 1,08v_n.\]

2.c. La relation précédente nous indique que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison 1,08.

2.d. On en déduit que pour tout entier naturel $n$ non nul : \[v_n = v_1q^{n-1} = 18000 \times 1,08^{n-1}.\]

2.e. Donc en particulier, quand $n=15$: \[\begin{aligned} v_n &= 18000 \times 1,08^{n-1}& \\ \implies v_{15}&=18000 \times 1,08^{15-1}& \\ &= 18000\times 1,08^{14}& \\ &\approx 52869,49.& \end{aligned}\]

3.a. Dans les questions précédentes, on a calculé que $u_{15}=35000$ tandis que $v_{15}\approx 52869$. Donc au bout de quinze ans, le salaire avec le contrat 2 est largement supérieur à celui avec le contrat 1.

En calculant les termes des deux suites à l'aide de la calculatrice, on obtient que: \[\begin{aligned} u_5&=25000\;;&\qquad v_5&\approx 24488\;;& \\ u_6 &=26000\;;&\qquad v_6 &\approx 26447.& \end{aligned}\] Donc à partir de la sixième année, le contrat 2 devient plus avantageux.

3.b. Le montant cumulé des salaires des 15 premières années avec le contrat 1 est \[\begin{aligned} u_1 + \cdots + u_{15} &= 15 \times \frac{u_1+u_{15}}2& \\ &=15\times \frac{21000 + 35000} 2& \\ &=420\:000.& \end{aligned}\] Le montant cumulé des salaires des 15 premières années avec le contrat 2 est \[\begin{aligned} v_1 + \cdots + v_{15} &=v_1\times \frac{1-q^{15}}{1-q}& \\ &=18000 \times \frac{1-1,08^{15}}{1-1,08}& \\ &\approx 488\:738.& \end{aligned}\] Le cumul des salaires est donc plus avantageux avec le contrat 2. (remarque: ce raisonnement ne tient pas compte de l'inflation.)

Corrigé SUP02-02

Chaque plaque diminue l'intensité sonore de 10 %, donc multiplie cette intensité par \[1 - \frac{10}{100} = 1 - 0,1 = 0,9.\] On peut donc dire que $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,9$ et de premier terme $u_0 = 100$.
On a donc, pour tout entier naturel $n$: \[u_n = u_0q^n = 100 \times 0,9^n.\] On souhaite donc avoir $n$ tel que $u_n \le 1$.
Des essais successifs à l'aide de la calculatrice permettent d'obtenir que : \[\begin{aligned} u_{43} &= 100\times 0,9^{43} \approx 1,078\;;& \\ u_{44} &= 100 \times 0,9^{44} \approx 0,97.& \end{aligned}\] Il faut donc (au moins) 44 plaques.

Corrigé SUP02-03

1.a. Lorsque 5 % du volume s'évapore, la quantité de liquide est multipliée par \[1 - \frac 5{100} = 1 - 0,05 = 0,95.\] Donc : \[\begin{aligned} u_1 &= 75\times 0,95 = 71,25\;;& \\ u_2 &= 71,25 \times 0,95 \approx 67,69.& \end{aligned}\]

1.b. De manière générale, pour tout entier naturel $n$: \[u_{n+1} = 0,95 u_n.\] Cela revient à dire que la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=0,95$.

1.c. On en déduit que pour tout entier naturel $n$: \[u_n = u_0q^n = 75\times 0,95^n.\]

2. On cherche ici à connaître $u_7$: \[u_7 = 75\times 0,95^7 \approx 52,4\ \text{cl.}\]

3. Des essais à l'aide de la calculatrice permettent d'établir que : \[\begin{aligned} u_{21} &= 75\times 0,95^{21} \approx 25,54\;;& \\ u_{22} &= 75\times 0,95^{22} \approx 24,27.& \end{aligned}\] Donc c'est au bout de 22 jours que la bouteille contiendra moins de 25 cl.

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