Corrigé Exercice 2

1. 7 centaines de litres correspondent à $x=7$. On calcule donc \[R(7) = (5\times 7 - 30)\mathrm e^{-0,25\times 7} \approx 0,86887.\] Le résultat réalisé par la vente de 7 centaines de litres est donc d'environ \[0,86887 = 86\:887\ \text{€}.\]

2. \[R(4) = (5\times 4-30)\mathrm e^{-0,25\times 4} \approx -3,67879\] Donc le résultat réalisé par la vente de 4 centaines de litres est bien négatif, voisin de −367879 €.

3. Puisque, quelle que soit la valeur de $x$, $\mathrm e^{-0,25}$ est strictement positive, $R(x)$ est positive si et seulement si \[\begin{aligned} 5x - 30 &\geqslant 0& \\ \iff 5x &\geqslant 30& \\ \iff x &\geqslant \frac{30}{5}& \\ \iff x &\geqslant 6.& \end{aligned}\] L'inéquation $R(x)\geqslant 0$ a donc pour ensemble solution [6 ; 20].
L'entreprise réalise un bénéfice (résultat positif) si elle vend au moins 600 litres de soin antipelliculaire.

4. Le facteur $\mathrm e^{-0,25x}$ étant strictement positif, le signe de $R'(x)$ est celui du facteur $-1,25x + 12,5$.
Cette expression affine s'annule quand \[\begin{aligned} -1,25x + 12,5 &= 0& \\ \iff -1,25x &= -12,5& \\ \iff x &= \frac{-12,5}{-1,25}& \\ \iff x &= 10.& \end{aligned}\] Le coefficient directeur est $-1,25$, il est négatif, donc l'expression est négative à droite de son zéro. \[\begin{array}{|l|lcccr|} \hline x &0&\qquad&10&\qquad&20\\ \hline R'(x) &&+&0&-&\\ \hline \end{array}\] On en déduit que la fonction $R$ est croissante sur $[2;10]$ puis décroissante sur $[10;20]$. Elle admet donc son maximum en $x=10$.
L'entreprise réalisera donc un bénéfice maximal si elle vend 1000 litres de soin antipelliculaire.

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