Corrigés d'exercices du manuel

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Démonstrations

Propriété 2

Soit $F_1$ une primitive de $f$ sur $I$. Une fonction $F_2$, définie sur $I$, est aussi une primitive de $F$ si et seulement s'il existe un réel $k$ tel que \[F_2=F_1+k.\]

Preuve. Les règles de dérivation indiquent que pour tout réel $k$, si $F_2 = F_1 + k$, Alors $F_2$ est dérivable sur $I$ avec \[F_2' = F_1' + 0 = f.\] Donc $F_2$ est bien aussi une primitive de $f$ sur $I$.
Réciproquement, soit $F_2$ une primitive quelconque de $f$.
Considérons alors la fonction $\Phi$ définie sur $I$ par $\Phi = F_2 - F_1$.
$\Phi$ est dérivable sur $I$, de fonction dérivée \[\Phi' = F_2' - F_1' = f - f = 0.\] Donc $\Phi$, de dérivée nulle est une fonction constante.
Notons $k = \Phi(x)$ (pour n'importe quel $x\in I$). Alors : \[\Phi = F_2 - F_1 \iff k = F_2 - F_1 \iff F_2 = F_1 + k.\]

Théorème 3

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Alors pour tout $x_0\in I$ et tout réel $y_0$, il existe une unique primitive $F$ de $f$ telle que $F(x_0)=y_0$.

Preuve: existence d'une telle primitive.
D'après le théorème 1, $f$ admet au moins une primitive $F_1$ sur $I$.
Soit $y_1 = F_1(x_0)$. Posons $k = y_0 - y_1$.
La fonction $F = F_1 + k$ est aussi une primitive de $f$ sur $I$. De plus elle vérifie \[F(x_0) = F_1(x_0) + k = y_1 + y_0 - y_1 = y_0.\]
Preuve: unicité de cette primitive.
Soit $F_2$ une primitive de $f$ sur $I$ telle que $F_2(x_0) = y_0$. Puisque $F_2$ est une primitive de $f$, il existe un réel $k$ tel que \[F_2 = F + k.\] Donc en particulier: \[\begin{aligned} F_2(x_0) &=F(x_0) + k& \\ \iff y_0 &=y_0 + k& \\ \iff k &= 0. \end{aligned}\] Donc $F_2 = F$.

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