N. Belliard
Compléments des cours
2NDE 9
III. Intervalles

Compléments du cours

Démonstration Prop. 8

On va démontrer que, quels que soient les nombres réels $a$ et $b$, \[\lvert ab \rvert = \lvert a \rvert \times \lvert b \rvert.\]

Quels qu'ils soient, les nombres réels $a$ et $b$ vérifient une et une seule des quatre conditions suivantes.

$a\ge 0$ et $b \ge 0$.
Dans ce cas, $ab\ge 0$ donc $\lvert ab\rvert = ab$.
$\lvert a \rvert = a$ et $\lvert b \rvert = b$ donc $\lvert a \rvert \times \lvert b \rvert = a \times b = ab$.
On a bien $\lvert ab \rvert = \lvert a \rvert \times \lvert b \rvert = ab$.
$a\ge 0$ et $b < 0$.
Dans ce cas, $ab\le 0$ donc $\lvert ab\rvert = -ab$.
$\lvert a \rvert = a$ et $\lvert b \rvert = -b$ donc $\lvert a \rvert \times \lvert b \rvert = a \times (-b) = -ab$.
On a bien $\lvert ab \rvert = \lvert a \rvert \times \lvert b \rvert = -ab$.
$a< 0$ et $b \ge 0$.
Dans ce cas, $ab\le 0$ donc $\lvert ab\rvert = -ab$.
$\lvert a \rvert = -a$ et $\lvert b \rvert = b$ donc $\lvert a \rvert \times \lvert b \rvert = -a \times b = -ab$.
On a bien $\lvert ab \rvert = \lvert a \rvert \times \lvert b \rvert = -ab$.
$a< 0$ et $b < 0$.
Dans ce cas, $ab\ge 0$ donc $\lvert ab\rvert = ab$.
$\lvert a \rvert = -a$ et $\lvert b \rvert = -b$ donc $\lvert a \rvert \times \lvert b \rvert = -a \times (-b) = +ab$.
On a bien $\lvert ab \rvert = \lvert a \rvert \times \lvert b \rvert = ab$.

Finalement, quelle que soit la situation, on a bien $\lvert ab \rvert = \lvert a \rvert \times \lvert b \rvert$.