N. Belliard
Compléments des cours
2NDE 9
I. Nombres

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Démonstrations en ligne

Prop. 14

Lemme. Soit $n$ un entier relatif.

• Si $n$ est pair, alors il existe un entier $k$ tel que $n = 2k$.
  Alors : \[n^2 = (2k)^2 = 2^2\times k^2 = 2(2k).\]
  Donc $n^2$ est aussi pair.
• Si $n$ est impair, alors il existe un entier $k$ tel que $n = 2k + 1$.
  Alors : \[\begin{aligned} n^2 &= (2k+1)^2& \\ &= (2k)^2 + 2\cdot 2k \cdot 1 + 1^2& \\ &= 2\cdot 2k^2 + 2\cdot(2k) + 1& \\ &= 2(2k^2 + 2k) + 1.& \end{aligned}\] Donc $n^2$ est lui aussi impair.

En conclusion, un entier et son carré sont toujours de la même parité.

Démonstration par l'absurde que $\sqrt 2$ n'est pas rationnel.
Supposons que $\sqrt 2\in\mathbb Q$. Alors il existe une fraction irréductible $\dfrac p q$ telle que : \[\begin{aligned} \dfrac{p}{q}&= \sqrt 2& \\ \implies \left(\dfrac p q\right)^2 &= 2& \\ \implies \dfrac{p^2}{q^2}& = 2& \\ \implies p^2 &= 2q^2.& \end{aligned}\] On en déduit que $p^2$ est pair.
Donc $p$ est pair.
Donc il existe un entier $k$ tel que $p=2k$.
Mais alors \[\begin{aligned} 2q^2 &=p^2& \\ \implies 2q^2&=(2k)^2& \\ \implies 2q^2&=4k^2& \\ \implies q^2&=2k^2& \end{aligned}\] Donc $q^2$ est pair, donc $q$ est pair.
Oui, mais $\dfrac pq$ est une fraction irréductible, donc $p$ et $q$ ne peuvent pas être tous deux pairs.
Conclusion : Notre supposition de départ est fausse; il n'existe pas de fraction irréductible égale à $\sqrt 2$..

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