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Pour colorier chacune des cinq cases, on a 4 choix possibles. Le nombre de coloriages est donc :
\[4^5 = 1024.\]
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On a six choix de couleurs pour colorier la première case. Mais on n'en a plus que cinq pour colorer la seconde, puis quatre pour colorer la troisième, et ainsi de suite.
Le nombre de coloriages possibles est donc:
\[6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 6! = 720.\]
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On a trois choix pour colorer la première case. Pour les cases suivantes, on n'aura que deux choix, car on ne peut pas réutiliser la couleur que l'on vient d'utiliser.
Le nombre de coloriages possibles est donc :
\[3 \times 2^4 = 48.\]
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Le problème revient à choisir les trois cases blanches parmi les cinq (et à colorer obligatoirement les autres en noir).
Le nombre de coloriages est donc:
\[\binom{5}{3} = \frac{5\times 4\times 3}{3\times 2\times 1} = 10.\]
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