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On a un seul choix pour le premier chiffre (qui doit être zéro), 10 pour le second, 10 pour le troisième et ainsi de suite jusqu'au dixième.
Le nombre total de numéros de téléphone possibles est donc :
\[1 \times 10^9=10^9.\]
(soit un milliard.)
Autre point de vue.
Si l'on note $Z = \{0\}$ et $C = \{0;1;2;\ldots;9\}$, un numéro de téléphone est un 10-uplet de $Z\times C^9$. Donc:
\[\operatorname{Card}(Z\times C^9) = \operatorname{Card}(Z) \times \left(\operatorname{Card}(C)\right)^9 = 1\times 10^9.\]
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Ici les deux premiers chiffres sont fixés et on doit donc choisir les 8 suivants, à chaque fois parmi 10 chiffres possibles. Il y a donc
\[1\times 1 \times 10^8 = 10^8.\]
(soit 100 millions.)
Autre point de vue. Un numéro commençant par 06 est un 10-uplet de $Z\times S \times C^8$ où $S=\{6\}$. Or:
\[\begin{aligned}
\operatorname{Card}(Z\times S \times C^8) &= \operatorname{Card}(Z)\times\operatorname{Card}(S)\times\left(\operatorname{Card}(C)\right)^8&
\\
&=1\times 1 \times 10^8&
\\
&= 10^8.&
\end{aligned}\]
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Pour former un tel numéro, on aura 10 choix pour le premier chiffre, puis seulement neuf pour le second (car on ne peut pas utiliser plusieurs fois le même chiffre) puis huit pour le troisième et ainsi de suite.
Le nombre de numéros possibles est donc :
\[10\times 9 \times 8 \cdots \times 2 \times 1 = 3\:628\:800.\]
Autre point de vue. Puisqu'il faut ordonner 10 chiffres parmi dix, ces numéros de téléphone sont les permutations de l'ensemble $C$. Il y en a donc:
\[\operatorname{Card}(C)! = 10! = 3\:628\:800.\]
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On commence par choisir les positions occupées par les "6" dans le numéro. On en a :
\[\binom{10}{3} = \frac{10\times 9\times 8}{3\times 2 \times 1} = 120.\]
On complète en choisissant parmi neuf chiffres (tous sauf le 6) les chiffres à placer dans les sept autres positions.
Le nombre total de choix est donc:
\[120 \times 9^7 = 573\:956\:280.\]
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